• ۱۱ بازدید
  • آبان ۲۸, ۱۳۹۹
معادلات گویا (rational equations)

معادلات گویا (rational equations)

 

 

 

 

نکات مقاله:

  • چگونه عبارت های جبری را ساده کنیم
  • ضرب و تقسیم عبارت های جبری
  • جبر در ریاضی
  • عبارت جبری هشتم
  • آموزش ریاضی مقدماتی تا پیشرفته
  • عبارت های جبری زیر را به صورت کلامی توضیح دهید
  • محاسبه عبارت های جبری
  • تعریف های ابتدایی جبر
  • جبر و معادله
  • جبر و معادله چیست

در آنی یار با ما همراه باشید.

بیشتر بخوانید

سامانه ثنا

نحوه مشاهده ابلاغیه دادگستری در سامانه ثنا

زمانی ابلاغیه‌ ها به‌صورت دستی به دست افراد و یا وکلایشان می‌رسید ولی چند سالی است که این شیوه دست‌خوش تغییرات شده و ابلاغیه‌ها به‌صورت الکترونیکی ارسال می‌شوند. نحوه ای که در مراجعه به محاکم قضایی و دادگاه‌ها توجه را به خود جلب می‌کند ازدحام جمعیت در این مراکز است قوه قضائیه در سال‌های گذشته […]

حل کردن یک معادله جبری نیازمند مقداری دانش فنی می باشد. شما به ابزارهای پایه ریاضی نیاز دارید، و باید بدانید مجاز به چه کارهایی هستید و چه کارهایی را نباید انجام بدهید. شما نمی خواهید که یک معادله کاملاً خوب را بگیرید و آن را به یک چیز بی معنا تبدیل کنید. برای حل کردن معادلات دارای کسرها، رادیکال ها، دارای توان منفی یا توان کسری، نیاز به یک استراتژی دارید، این استراتژی باید شامل برنامه دقیق و همینطور درست آزمایی پاسخهای نهایی باشد. در این فصل، شما چگونگی مقابله با معادلات با تبدیل آنها به معادلات جدیدتری که آشناتر یا آسانتر هستند، را خواهید دانست. همچنین یک الگوی تکراری از درست آزمایی پاسخهایتان را خواهید دید، چرا که تبدیل کردن معادلات به اشکال مختلف می تواند ترکیبات مبهم بیگانه تولید کند، و شما را به سمت پاسخهای اشتباه هدایت کند.

معادلات گویا (کسری)

یک جمله گویا (rational) در یک معادله، یک کسر (fraction) است، یک معادله که دارای یک یا چند جمله گویا باشد، با نام معادله گویا (rational equation) شناخته می شود. رسیدگی به یک معادله که شامل کسرها باشد، همیشه آسان نیست.

 یادتان باشد: یک استراتژی عمومی برای حل کردن یک معادله گویا اینست که با تبدیل معادله به شکلی معادل آن که دارای پاسخ یکسانی باشند، از شر کسر یا کسرها رها شوید، شکلی که حل کردن مسأله را ساده تر سازد.

دو تا از رایجترین روشهای خلاص شدن از شر کسرها، تقسیم کل جملات بر کوچکترین مخرج مشترک و ضرب متقابل نسبت ها می باشند. در همین فصل در مورد هر دوی این تکنیکها بحث خواهم کرد.

 هشدار: این تردستی ریاضی، یعنی استفاده از معادلات جایگزین برای حل کردن مسأله های پیچیده تر، بدون مشکلات بالقوۀ خودش نمی باشد. گاهی اوقات، معادله جدید یک پاسخ اضافی (extraneous solution) تولید می کند ـــ به آن ریشۀ اضافی (extraneous root) نیز گفته می شود ــــ ، یک پاسخ غلط که که ممکن است به دلیل بی دقتی پیش آمده باشد. برای جلوگیری از شامل شدن پاسخهای اضافی در جوابهایتان، باید پاسخهای بدست آمده را در معادله اصلی درست آزمایی کنید. نگران نباشید، در بخشهای بعدی همه چیزهای مورد نیاز را به شما ارانه خواهم داد.

حل کردن معادلات گویا با کوچکترین مخرج مشترک

شما می توانید معادلات گویا، همچون ۳x+۲۲۵۲x۳=x+۳۴ ، بدون هیچ زحمت زیادی حل کنید، کافیست به سادگی از شر همه مخرجها خلاص شوید. برای انجام این کار، با یک دوست قدیمی، یعنی کوچکترین مخرج مشترک، کار خواهید کرد. اگر کار با آن را فراموش کرده باشید، یک یادآوری مختصر انجام می دهم. کوچکترین مخرج مشترک (ک.م.م) که به نام کوچکترین مضرب مشترک نیز شناخته می شود، کوچکترین عددی است که دو یا چند عدد دیگر بر آن بخش پذیر باشند، به عنوان مثال عدد ۱۲ بر اعداد ۲ ، ۳ ، و ۴ بخش پذیر می باشد و کوچکترین عددی است که بر هر سه این اعداد بخش پذیر است، پس ۱۲ کوچکترین مخرج مشترک این سه عدد می باشد. در فصل ۱۸ ترفندها و تکنیکهایی را برای یافتن سریعتر کوچکترین مخرج مشترک با شما در میان خواهم گذاشت.

برای حل کردن معادله مثال قبلی با استفاده از ک.م.م ، ابتدا یک مخرج مشترک برای همه کسرها می یابید، هر کسر را با آن مخرج مشترک بازنویسی می کنید، سپس هر سمت از معادله را در آن مخرج مشترک ضرب می کنید تا به یک معادله درجه دوم زیبا برسید (برای یک بحث کامل بر روی معادلات درجه دوم فصل ۳ را ببینید).

 هشدار: معادلات درجه دوم دارای دو پاسخ می باشند، بنابراین آنها فرصت بیشتری را برای پاسخ های اضافی (extraneous solutions) پیش می آورند. با دقت مراقب خطاها باشید!

۱. یک مخرج مشترک بیابید

اولین گام در حل کردن معادله گویا اینست که ک.م.م برای تمامی جملات موجود در معادله را بیابید.

برای مثال، ک.م.م هر سه کسر موجود در معادله ۳x+۲۲۵۲x۳=x+۳۴ عبارت از تمامی فاکتورهای موجود در مخرج هر سه کسر می باشد. هر کدام از مخرج ها باید قادر باشند تا ک.م.م را به صورت برابر بخش کنند. به عبارت دیگر، ک.م.م مضربی از هر کدام از مخرج های اصلی می باشد. برای حل کردن این معادله ۴(۲x۳) را به عنوان مخرج مشترک استفاده کنید، زیرا مضربی از ۲ می باشد، شما می توانید ۲ را در ۲(۲x۳) ضرب کنید تا به مخرج مشترک برسید. همچنین مخرج مشترک بدست آمده، مضربی از ۲x۳ نیز می باشد، با ضرب این عبارت در ۴ به مخرج مشترک می رسید. همچنین مضربی از ۴ نیز می باشد، زیرا ۴ ضربدر (۲x۳) نتیجه اش مخرج مشترک مربوطه می شود. هر سه مخرج این حاصلضرب را به صورت مساوی بخش می کنند.

۲. هر کسر را با مخرج مشترک بازنویسی کنید

در معادله اصلی هر کدام از جملات را در مقادیری ضرب کنید، به نحویکه بعد از ضرب کردن، جملات حاصل شده دارای مخرج یکسانی باشند:

۳x+۲۲۲(۲x۳)۲(۲x۳)۵۲x۳۴۴=x+۳۴۲x۳۲x۳۲(۳x+۲)(۲x۳)۴(۲x۳)۲۰۴(۲x۳)=(x+۳)(۲x۳)۴(۲x۳)

اعدادی که کسرها را در آنها ضرب کرده ایم، همگی برابر با یک می باشند، زیرا هر کسری که صورت و مخرجش یکسان باشد مساوی با یک می باشد. اما شما باید این کسرهای برابر با یک را با دقت انتخاب کنید، صورت و مخرج این کسرهای برابر با یک باید طوری انتخاب شوند که حاصلضرب مخرج کسر اصلی در این کسر، نتیجه اش ک.م.م گردد.

 نکته: برای تعیین کسر برابر با یک، می توانید ک.م.م را در مخرج کسر اصلی تقسیم کنید تا به فاکتور مناسب برسید.

۳. هر دو سمت معادله را در ک.م.م ضرب کنید

هر جملۀ موجود در هر دو سمت معادله را در ک.م.م ضرب کنید، تا در نتیجۀ این ضرب مخرج کسرها از بین برود و در واقع از شر کسرها خلاص گردید:

۴(۲x۳)۲(۳x+۲)(۲x۳)۴(۲x۳)۴(۲x۳)۲۰۴(۲x۳)=۴(۲x۳)(x+۳)(۲x۳)۴(۲x۳)۲(۳x+۲)(۲x۳)۲۰=(x+۳)(۲x۳)
 هشدار: یک مشکل غیرمنتظره که در هنگام ضرب کردن هر دو سمت معادله در یک متغیر ممکن است پیش آید، اینست که هر دو سمت را در صفر ضرب کنید، که منجر به تولید یک پاسخ اضافی می شود. مطمئن شوید که پاسخهای خودتان را در معادله اصلی درست آزمایی کنید و همینطور اطمینان حاصل کنید که هیچکدام از پاسخهای شما مخرج کسرها در معادله اصلی را برابر با صفر نکنند.

۴. معادله جدید را حل کنید

با تکمیل کردن مراحل قبلی در این مسأله، یک معادله درجه دوم را تولید می کنید. (اگر نمی دانید با معادله درجه دوم باید چه کار کنید، فصل ۳ را ببینید.)

برای حل کردن معادله درجه دوم جدید، ضرب ها را انجام بدهید، ساده سازی کنید، و معادله را برابر با صفر قرار بدهید:

۲(۳x+۲)(۲x۳)۲۰=(x+۳)(۲x۳)۱۲x۲۱۰x۱۲۲۰=۲x۲+۳x۹۱۰x۲۱۳x۲۳=۰

حالا بررسی کنید که آیا این معادله درجه دوم قابل فاکتورگیری می باشد یا خیر. اگر قابل فاکتورگیری نباشد، به فرمول حل کردن معادلات درجه دوم، متوسل می شوید. خوشبختانه، در اینجا استفاده از فرمول ضرورت ندارد. بعد از فاکتورگیری، هر فاکتور را برابر با صفر قرار بدهید و آن را برای x حل کنید:

۱۰x۲۱۳x۲۳=۰(۱۰x۲۳)(x+۱)=۰۱۰x۲۳=۰,x=۲۳۱۰x+۱=۰,x=۱

شما برای این معادله درجه دوم دو پاسخ یافته اید: x=۲۳۱۰ و x=۱ .

۵. پاسخهایتان را درست آزمایی کنید.

حالا باید پاسخهای بدست آمده را در معادله اصلی درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید از پاسخهای اضافی بر حذر هستید. همانطور که در مقدمه این بخش مطرح کردم، ممکن است با یک یا دو پاسخ اضافی برخورد کنید.

 یادتان باشد: رایج ترین نشانه که شما پاسخ اضافی دارید اینست که بعد از جایگذاری پاسخها در معادله اصلی در مخرج کسر با صفر مواجه شوید. گاهی از اوقات در هنگام درست آزمایی، به یک معادله بی معنا همچون ۴=۷ می رسید، و این معادله بی معنا بر این دلالت دارد که پاسخ شما اضافی است، اما این حالت بسیار خاص است. شما همیشه بعد از حل معادله باید پاسخهای بدست آمده را درست آزمایی کنید. مطمئن شوید، مقادیری که یافته اید گزاره های صحیحی را ایجاد می کنند.

معادله اصلی را درست آزمایی کنید تا ببینید دو پاسخ بدست آمده درست کار می کنند یا خیر، ابتدا x=۲۳۱۰ را بررسی کنید:

۳(۲۳۱۰)+۲۲۵۲(۲۳۱۰)۳=(۲۳۱۰)+۳۴۶۹۱۰+۲۰۱۰۲۵۴۶۱۰۳۰۱۰=۲۳۱۰+۳۰۱۰۴۸۹۲۰۲۵۱۶۱۰=۵۳۱۰۴۸۹۲۰۵۰۱۶=۵۳۴۰

درست آزمایی این معادله با یک پاسخ کسری به نظر کار خیلی ناخوشایندی می آید، اما این کار لازم است که انجام شود. متوسل شدن به ماشین حساب، در این مرحله را، به عنوان کم آوردن تلقی نکنید، با خیال راحت ماشین حساب را بدست بگیرید و هرجا که لازم باشد، از آن استفاده کنید. شما همیشه امیدوارید که با اعداد صحیح برخورد کنید، برای همین دوست ندارید این کسرهای پیچیده را ساده سازی کنید، یادتان باشد همیشه اوضاع آنطور که می خواهید پیش نمی رود.

مرحله بعدی کار شما اینست که یک مخرج مشترک بیابید تا بتوانید دو سمت معادله را با یکدیگر مقایسه کنید:

۸۹۲۰۴۴۵۰۱۶۵۵=۵۳۴۰۲۲۳۵۶۸۰۲۵۰۸۰=۱۰۶۸۰۱۰۶۸۰=۱۰۶۸۰

زیبا بود! اولین پاسخ درست کار کرد. درست آزمایی بعدی، اینست که ببینیم آیا x=۱ پاسخ درستی می باشد یا خیر:

۳(۱)+۲۲۵۲(۱)۳=(۱)+۳۴۳+۲۲۵۵=۲۴۱۲+۱=۱۲۱۲=۱۲

بسیار زیبا! پاسخهای معادله ۳x+۲۲۵۲x۳=x+۳۴ عبارت از x=۲۳۱۰ و x=۱ می باشند.

با این حال، معادلات گویا همیشه به این خوبی حل نمی شوند. برای مثال، معادله xx+۲+۳x+۲x(x+۲)=۳x ، را در نظر بگیرید. اگر مراحل ۱ تا ۴ را بر روی این معادله انجام بدهید، به یک معادله جدید می رسید:

xx+۲+۳x+۲x(x+۲)=۳xx۲x(x+۲)+۳x+۲x(x+۲)=۳(x+۲)x(x+۲)x(x+۲)x۲x(x+۲)+x(x+۲)۳x+۲x(x+۲)=x(x+۲)۳(x+۲)x(x+۲)x۲+۳x+۲=۳(x+۲)x۲۴=۰(x+۲)(x۲)=۰

پاسخهای این معادله عبارتند از x=۲ و x=۲ .

هنگامی که پاسخ x=۲ را در معادله اصلی امتحان می کنید، به درستی کار می کند:

۲۲+۲+۳(۲)+۲۲(۲+۲)=۳۲۲۴+۸۸=۳۲۱۲+۱=۳۲

با این حال، وقتیکه پاسخ x=۲ را در معادله اصلی جایگزین می کنید، به نتایج زیر می رسید:

۲۲+۲+۳(۲)+۲۲(۲+۲)=۳۲۲۰+۴۰=۳۲

همینجا صبر کنید! شما نمی توانید در مخرج کسر صفر داشته باشید. پاسخ x=۲ در معادله درجه دوم به خوبی کار می کند، اما پاسخ معادله گویا نمی باشد، ۲ یک پاسخ اضافی می باشد.

حل کردن معادلات گویا با تناسب (proportions)

تناسب (proportion) یک معادله است که در آن یک کسر برابر با کسر دیگری قرار داده شده است. برای مثال معادلۀ ab=cd ، یک تناسب می باشد. تناسب ها چندین ویژگی بسیار زیبا دارند که منجر می شود، در هنگام حل کردن معادلات گویا، کار با آنها مطلوب باشد، زیرا شما می توانید کسرها را حذف کنید، یا آنها را تغییر بدهید تا مخرج های بهتری را نشان بدهند. همچنین، تناسب ها را می توان به چهار روش مختلف فاکتورگیری کرد.

 قوانین جبر: هنگامی که تناسب ab=cd ، را داشته باشید، ویژگی های زیر صحیح می باشند:

  • ad و bc ، حاصل ضرب متقابل تناسب، با هم برابر می باشند، و به شما معادله ad=bc را نتیجه می دهد.
  • ba=dc ، معکوس کسرها، با هم برابر می باشند (شما می توانید تناسب را معکوس کنید).

استفاده از ضرب متقابل برای حل کردن معادلات گویا

برای حل کردن یک معادله همچون x+۵۲۳x=۹x ، می توانید یک مخرج مشترک بیابید و سپس هر سمت معادله را در آن مخرج مشترک ضرب کنید، اما در اینجا یک روش ساده تر و سریعتر داریم:

  1. ۳x را به هر سمت از معادله بیفزایید و سپس جملات دارای مخرج مشترک را با هم ترکیب کنید تا به یک تناسب برسید.
    x+۵۲۳x+۳x=۹x+۳xx+۵۲=۱۲x
  2. ضرب متقابل (Cross multiply) را انجام بدهید، یا بعبارت دیگر طرفین وسطین کنید.
    (x+۵)x=۲۴

این یک معادله درجه دوم می باشد. در اینجا چگونگی حل کردن این معادله را می بینید:

  1. معادله درجه دوم را ساده سازی کنید.
    (x+۵)x=۲۴x۲+۵x=۲۴
  2. معادله را برابر با صفر قرار دهید.
    x۲+۵x۲۴=۰
  3. معادله را با فاکتورگیری حل کنید.
    (x+۸)(x۳)=۰x+۸=۰,x=۸x۳=۰,x=۳

شما دو پاسخ دارید، x=۸ و x=۳ . باید هر دو پاسخ را درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید هیچکدام از آنها یک پاسخ اضافی نباشد. وقتی که x=۸ ، داریم:

۸+۵۲۳۸=۹۸۳۲+۳۸=۹۸۱۲۸+۳۸=۹۸۹۸=۹۸

همانطور که می بینید، پاسخ x=۸ به درستی کار می کند. بنابراین به سراغ درست آزمایی پاسح x=۳ می رویم:

۳+۵۲۳۳=۹۳۸۲۳۳=۳۴۱=۳

کاهش کسرها در تناسب، در چهار جهت مختلف

 نکته: ویژگی فوق العاده دیگر تناسب ها اینست که شما می توانید کسرهای یک تناسب را با پیدا کردن فاکتورهای مشترک، در چهار جهت متفاوت کاهش دهید: بالا، پایین، چپ، و راست. قابلیت کاهش کسرها در یک تناسب در مواقعی که اعداد بزرگی در معادله داشته باشید، بسیار سودمند خواهد بود.

در اینجا چند مثال از کاهش تناسب ها در صورت کسرها (Numerators)، مخرج کسرها (Denominators)، سمت چپ (Left)، و سمت راست (Right)، را می بینید:

 Numerators ۱۵x۲۸=۵۴۹۳۱۵x۲۸=۵۱۴۹۳x۲۸=۱۴۹ Denominators ۳x۲۸=۱۴۹۳x۴۲۸=۱۴۹۷۳x۴=۱۷ Left ۱۰۰y۳۰۰(y+۱)=۱۲۱۷۷y۱۱۰۰y۳۳۰۰(y+۱)=۱۲۱۷۷yy۳(y+۱)=۱۲۱۷۷y Right y۳(y+۱)=۱۲۱۷۷yy۳(y+۱)=۱۲۱۱۱۷۷۷yy۳(y+۱)=۱۱۷y

شکل کاهش یافته کسرها، ضرب متقابل (طرفین وسطین کردن) را بسیار آسانتر و قابل مدیریت تر می کند. برای مثال، تناسب زیر را ببینید. ابتدا صورت کسرها را کاهش می دهید، و سپس کسر سمت چپ را کاهش می دهید. سرانجام، طرفین وسطین کرده و معادله درجه دوم را حل می کنید:

۸۰x۱۶=۳۰x۵۸۸۰x۱۶=۳۰۳x۵۸x۱۶=۳x۵۱۸x۲۱۶=۳x۵x۲=۳x۵x(x۵)=۶x۲۵x=۶x۲۵x۶=۰(x۶)(x+۱)=۰x۶=۰,x=۶x+۱=۰,x=۱

پاسخها عبارت از x=۶ و x=۱ می باشند. طبق معمول، شما باید پاسخها را درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید هیچ ریشه اضافی وجود ندارد:

۸۰x۱۶=۳۰x۵x=۶,۸۰(۶)۱۶=۳۰(۶)۵,۴۸۰۱۶=۳۰۱,۴۸۰=۳۰(۱۶)x=۱,۸۰(۱)۱۶=۳۰(۱)۵,۸۰۱۶=۳۰۶,(۸۰)(۶)=۳۰(۱۶)

هر دو پاسخ با موفقیت درست آزمایی شدند.

معکوس کردن معادلات گویا

آن ویژگی از تناسب که بیان می دارد تناسب ab=cd معادل با معکوس آن یعنی ba=dc می باشد، در معادله ای همچون ۱x۳=۲۵ ، سودمند واقع می شود. بعد از معکوس کردن کسرها، در سمت چپ با مخرج ۱ مواجه می شوید. در این مرحله، تنها کاری که برای حل کردن معادله باید انجام بدهید، اینست که به هر سمت معادله عدد ۳ را بیفزایید.

x۳۱=۵۲x۳=۲.۵x=۵.۵

 

بیشتر بخوانید

لپ تاپ های رنگارنگ برند Avita در CES 2020

امسال لپ‌تاپ‌های ارزان‌قیمت برند Avita در CES 2020 معرفی خواهند شد و به بازار جهانی لپ‌تاپ راه خواهند یافت. Avita برند تجاری لپ‌تاپ در هنگ کنگ است که قصد داشت تا امسال مدل‌های ارزان‌قیمت و رنگی خود مانند Clarus و Liber را وارد بازار لپ‌تاپ ایالات متحده کند. این برند دو خانواده‌ی جدید لپ‌تاپ خود را با حفظ طراحی رنگارنگ […]

منبع: خوش آموز

 

توجه:

لطفا در صورت اقدام به دانلود تا انتهای فرآیند دانلود، این صفحه را باز نگاه دارید.

در صورت نیاز به راهنمایی در مورد این مطلب و یا هر مشکلی در زمینه کامپیوتر و موبایل با کارشناسان ما تماس بگیرید.

[تماس از سراسر کشور ۹۰۹۹۰۷۰۵۴۳]

[تعداد: 0   میانگین: 0/5]

پسورد فایل فشرده : aniyar.com

برای کپی کلیک کنید پسورد کپی شد، می‌توانید برای خارج کردن از فایل فشرده استفاده کنید
درخواست نرم افزار

در صورتی نرم افزار، یا کرک نرم افزارتان را نمی توانید پیدا کنید، درخواست خود را برای ما ارسال کنید تا در سریعترین زمان برای شما ارسال شود.

درخواست نرم افزار