• ۱۰ بازدید
  • آبان ۲۹, ۱۳۹۹
پیدا کردن ریشه های یک چندجمله ای

پیدا کردن ریشه های یک چندجمله ای

 

 

 

 

نکات مقاله:

  • دانلود کتاب آموزش ریاضی به زبان ساده
  • ضرب و تقسیم عبارت های جبری
  • جبر در ریاضی
  • عبارت جبری هشتم
  • دانلود کتاب ریاضی پایه و پیش جبر
  • آموزش ریاضی مقدماتی تا پیشرفته
  • کتاب کامل جبر
  • تعریف های ابتدایی جبر
  • جبر و معادله
  • جبر و معادله چیست

در آنی یار با ما همراه باشید.

بیشتر بخوانید

Ad-Aware Free Antivirus

Ad-Aware Free Antivirus نرم‌افزار ضدویروس

Ad-Aware Free Antivirus دانلود نرم‌افزار ضدویروس آ دی آوار فری آنتی ویروس در آنی یار. محافظت دو طرفه ای را که در آنتی ویروس متصل شده است با موتور ضد جاسوسی پوشانده شده است. این ترکیب محافظ محکمی در برابر تروجان ها ، شماره گیران ، روتکیت ها ، ربات ها و هواپیماربایان می باشد. […]

پیدا کردن تقاطع ها (یا ریشه ها یا صفرها) در چندجمله ای ها، بسته به پیچیدگی آن تابع، می تواند نسبتاً ساده یا اندکی چالش انگیز باشد. چندجمله ایهای فاکتورگیری شده دارای ریشه هایی می باشند که صرفاً همانجا می ایستند و فریاد می زنند “من اینجام!”، چندجمله ایهایی که به سادگی فاکتورگیری می شوند، بسیار مطلوبند. با این حال، چندجمله ایهایی که به هیچ وجه قابل فاکتورگیری نمی باشند، به کامپیوترها یا ماشین حسابهای نموداری واگذار می شوند.

چندجمله ای هایی که باقی می مانند آنهایی هستند که با اندکی برنامه ریزی و کار، فاکتورگیری می شوند. فرآیند برنامه ریزی شامل شمارش تعداد ریشه های حقیقی مثبت و منفیِ ممکن و تهیه لیستی از ریشه های گویای بالقوه می باشد. و کار مورد اشاره، استفاده از تقسیم ترکیبی (synthetic division) برای سنجش لیست انتخابها برای یافتن ریشه ها می باشد.

 یادتان باشد: یک تابع چندجمله ای با درجۀ n (بالاترین توان در معادلۀ این چندجمله ای n باشد) می تواند تا n ریشه داشته باشد.

فاکتورگیری برای ریشه های چندجمله ای

مادامیکه چندجمله ای شما در شکل زیبای فاکتورگیری شده باشد، پیداکردن تقاطع های چندجمله ای ها مشکل نیست. شما صرفاً y را برابر با صفر قرار می دهید و از ویژگی ضرب صفر برای یافتن تقاطع ها استفاده می کنید. اما اگر چندجمله ای در شکل فاکتورگیری شده نباشد، چطور؟ چه باید بکنید؟ خوب، البته که باید آن را فاکتورگیری کنید. این بخش با چندجمله ایهایی که به سادگی قابل فاکتورگیری هستند، سروکار دارد، و خوشبختانه بیش از ۷۰ درصد چندجمله ای هایی که با آنها برخورد خواهید داشت از این نوع هستند. انواع چالش انگیزتر را در بخشهای بعدی همین فصل بررسی خواهیم کرد.

به کار بردن الگوهای فاکتورگیری و گروه بندی

در توابع چندجمله ایِ قابل فاکتورگیری، نیمی از مبارزه شناسایی الگوها می باشد. شما می خواهید از مزایای الگوها بهره مند شوید. اگر هیچ الگویی نمی بینید (یا هیچ الگویی وجود نداشته باشد)، نیاز خواهید داشت تا بررسی بیشتری کنید. ساده ترین الگوهای فاکتورگیری قابل شناسایی که در چندجمله ایها مورد استفاده قرار می گیرند، موارد زیر می باشند:

  • تفاضل بین مربع ها (Difference of squares)
    a۲b۲=(a+b)(ab)
  • بزرگترین عامل مشترک (Greatest common factor)
    ab±ac=a(b±c)
  • تفاضل بین مکعب ها (Difference of cubes)
    a۳b۳=(ab)(a۲+ab+b۲)
  • مجموع بین مکعب ها (Sum of cubes)
    a۳+b۳=(a+b)(a۲ab+b۲)
  • مربع کامل سه جمله ای (Perfect square trinomial)
    a۲±۲ab+b۲=(a±b)۲
  • فاکتورگیری سه جمله ای ها (Trinomial factorization)
    استفاده از روش UnFOIL
  • فاکتورهای مشترک در گروه ها (Common factors in groups)
    فاکتورگیری با روش گروه بندی (Grouping)

مثالهای زیر روش های مختلف فاکتورگیری را ترکیب کرده اند. آنها شامل مکعب کامل و مربع کامل و همۀ انواع دیگر ترکیبهای خوب از الگوهای فاکتورگیری می باشند.

برای مثال، جهت فاکتورگیری چندجمله ای زیر، ابتدا باید از بزرگترین عامل مشترک و سپس از تفاضل بین مربع ها استفاده کنید:

y=x۳۹x=x(x۲۹)=x(x+۳)(x۳)

این چندجمله ای با استفاده از مجموع دو مکعب کامل، فاکتورگیری می شود:

y=۲۷x۳+۸=(۳x+۲)(۹x۲۶x+۴)

چندجمله ای بعدی را در ابتدا با گروه بندی فاکتورگیری می کنید. دو جملۀ آغازین دارای عامل مشترکی از x۳ و دو جملۀ بعدی دارای فاکتور مشترکی از ۱۲۵ می باشند. معادلۀ جدید دارای فاکتور مشترک x۲۱ می باشد. بعد از انجام فاکتورگیری، خواهید دید که فاکتور اول تفاضل بین مربع ها و فاکتور دوم تفاضل بین مکعب ها می باشد:

y=x۵x۳۱۲۵x۲+۱۲۵=x۳(x۲۱)۱۲۵(x۲۱)=(x۲۱)(x۳۱۲۵)=(x+۱)(x۱)(x۵)(x۲+۵x+۲۵)

این چندجمله ای آخر، به شما نشان می دهد، چگونه ابتدا بزرگترین عامل مشترک را استفاده کرده و سپس با مربع کامل سه جمله ای، فاکتورگیری نمایید:

y=x۶۱۲x۵+۳۶x۴=x۴(x۲۱۲x+۳۶)=x۴(x۶)۲

لحاظ کردن غیر قابل فاکتورگیری

اگر هر چیزی را که لازم می داشتیم دم دستمان می بود، و همینطور اگر همۀ چندجمله ایها به سادگی قابل فاکتورگیری می بودند، زندگی فوق العاده می شد. من نمی خواهم وارد جزئیات سختیهای زندگیتان بشوم، اما چندجمله ایهایی که قابل فاکتورگیری نمی باشند، باید مورد بحث قرار گیرند. شما نمی توانید صرفاً آنها را رها کنید و به مسیر خودتان ادامه بدهید. در برخی موارد، چندجمله ایها قابل فاکتورگیری نیستند، اما دارای تقاطع هایی می باشند که مقادیر اعشاری بدون انتها هستند. چندجمله ایهای دیگری نه فاکتورگیری می شوند و نه طول از مبدأ ای دارند.

 یادتان باشد: اگر یک چندجمله ای فاکتورگیری نشود، می توانید موانع را در یکی از دو ویژگی زیر ببینید:

  • چندجمله ای دارای طول از مبدأ نمی باشد.
    شما می توانید این را از روی نمودار چند جمله ای که با استفاده از ماشین حساب نموداری ترسیم کرده اید، بگویید.
  • چندجمله ای دارای ریشه های (یا صفرهای) اصم می باشد.
    اینها را می توانید با استفاده از ماشین حساب نموداری یا کامپیوتر، تخمین بزنید.

ریشه های اصم (Irrational roots) بدین معنا می باشند که طول از مبدأها با رادیکالها یا اعداد اعشاری گرد شده نوشته شده اند. اعداد اصم (Irrational numbers)، اعدادی هستند که نمی توانید آنها را به شکل کسر بنویسید؛ این اعداد را معمولاً با گرفتن ریشۀ مربع (ریشه دوم یا جذر) اعدادی که مربع کامل نمی باشند و یا با گرفتن ریشۀ مکعب (ریشه سوم) اعدادی که مکعب کامل نمی باشند، بدست می آورید. گاهی اوقات در صورتیکه یکی از فاکتورهای چندجمله ای درجه دوم باشد، می توانید آن را برای بدست آوردن ریشه های اصم حل کنید. در اینگونه موارد با استفاده از فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم (quadratic formula) می توانید بدین هدف نائل شوید.

 نکته: یک روش سریعتر برای یافتن ریشه های اصم استفاده از ماشین حساب نموداری می باشد. برخی از این ماشین حسابها، در هر مرتبه یکی از صفرها را برای شما پیدا می کنند؛ برخی دیگر از آنها ریشه های اصم را یکباره برای شما لیست می کنند. شما همچنین می توانید در صورتیکه الگویی را در چندجمله ای شناسایی کنید که غیرقابل فاکتورگیری بودن آن را نشان دهد، در زمانتان صرفه جویی کنید. (زیرا دیگر تلاشی برای فاکتورگیری آنها نخواهید کرد).

برای مثال، چندجمله ایهای دارای شکلهای زیر فاکتورگیری نمی شوند:

  • x۲n+c . یک چندجمله ای در این شکل دارای ریشۀ حقیقی یا پاسخی نمی باشد. در این ارتباط می توانید به فصل ۱۴ مراجعه کنید تا چگونگی برخورد با اعداد موهومی (imaginary numbers) را بدانید.
  • x۲+ax+a۲ . فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم به شما کمک می کند تا ریشه های موهومی (imaginary roots) را تعیین کنید.
  • x۲ax+a۲ . این شکل نیز به فرمول حل کردن معادله درجه دوم نیاز دارد. شما به ریشه های موهومی خواهید رسید.

مثالهای دوم و سوم بخشی از فاکتورگیری تفاضل یا مجموع دو مکعب می باشند. در فصل ۳، شما مشاهده کردید که چگونه تفاضل یا مجموع مکعبها فاکتورگیری می شوند، و در آنجا به شما گفته شد که سه جمله ای حاصل از این نوع فاکتورگیری، قابل فاکتورگیری نمی باشد.

قضیۀ ریشۀ گویا (Rational Root Theorem)

اگر فاکتورگیری یک چندجمله ای برای شما آشکار نباشد، چه کار خواهید کرد؟ شما احساس خواهید کرد که آن چندجمله ای قابل فاکتورگیری می باشد، اما اعداد لازم برای فاکتورگیری از شما فرار می کنند. اصلاً نترسید! راوی وفادار شما راهش را به شما خواهد گفت. کمک من به شما در قالب قضیه ریشۀ گویا (Rational Root Theorem) می باشد. این قضیه واقعاً شسته و رفته است، زیرا بسیار منظم و قابل پیش بینی می باشد، و یک پایان بدیهی برای آن وجود دارد؛ وقتیکه کار تمام شد، شما خواهید دانست و جستجو برای پاسخها را متوقف می کنید. اما قبل از اینکه بتوانید این قضیه را به کار بگیرید، باید قادر باشید یک ریشۀ گویا را شناسایی کنید.

 یادتان باشد: عدد گویا هر عدد حقیقی است که بتوانید آن را به شکل یک کسر که در آن یک عدد صحیح بر عدد صحیح دیگری تقسیم می شود، بنویسید. (عدد صحیح یک عدد درست (whole number) مثبت یا منفی یا صفر می باشد.) شما معمولاً یک عدد گویا را به شکل pq می نویسید، با درک این مطلب که مخرج یعنی q نمی تواند صفر باشد. تمامی اعداد درست، اعداد گویا می باشند، زیرا شما می توانید آنها را به شکل کسرهایی همچون ۴۱۲۳ بنویسید.

آنچیزی که اعداد گویا (rational numbers) را از متضاد آنها یعنی اعداد اصم (irrational numbers)، متمایز می کند، کاری است که با معادل اعشاری آنها انجام می شود. عدد اعشاری مرتبط با یک کسر (عدد گویا) یا جایی خاتمه می یابد و یا اینکه با یک الگوی تکراری، ادامه می یابد. معادل اعشاری یک عدد اصم هرگز خاتمه نمی یابد و هیچ الگوی تکراری نیز در آن یافت نمی شود؛ صرفاً سرگردان و بی هدف ادامه می یابد.

 قوانین جبر: بدون معطلی و اتلاف وقت بیشتر، قضیه ریشۀ گویا اینست: اگر چندجمله ایِ f(x)=anxn+an۱xn۱+an۲xn۲+...+a۱x۱+a۰ دارای ریشۀ گویایی باشد، تمامی آن ریشه های گویا دارای این شرایط می باشند که می توانید آنها را به شکل یک کسر برابر با factor of a۰factor of an بنویسید. به عبارت دیگر، طبق این قضیه، هر ریشه گویا از یک چندجمله ای از تقسیم کردن فاکتوری از جملۀ ثابت بر فاکتوری از ضریب آغازین شکل می گیرد.

استفادۀ مفید از قضیه ریشۀ گویا

 یادتان باشد: کار سخت در قضیۀ ریشۀ گویا اینست که لیستی از اعدادی بسازید که ممکن است ریشه ای از یک چندجمله ای خاص باشند. بعد از اینکه با استفاده از این قضیه لیستی از ریشه های بالقوه را ایجاد کردید (و آن را دوبار بررسی کردید)، آن اعداد را در چندجمله ای جایگزین می کنید تا تعیین کنید کدام یک از آنها درست کار می کنند (البته اگر موردی باشد که درست کار کند). ممکن است به موردی بربخورید که هیچ کدام از نامزدها در آن کار نکند، که به شما می گوید، در آن چندجمله ای هیچ ریشۀ گویایی وجود ندارد. (و اگر یک عدد گویای معین در لیست احتمالاتی که به آن فکر کرده اید نباشد، نمی تواند ریشه ای از آن چندجمله ای باشد.)

با این حال، قبل از اینکه شروع به جایگذاری و آغاز عملیات کنید، آگاه باشید که در ادامۀ همین فصل ترفندهایی برای ساده تر کردن این فرآیند مطرح شده است. همچنین در همین فصل شما را با تقسیم ترکیبی که روشی سریعتر از جایگذاری می باشد آشنا خواهیم کرد.

چندجمله ایهای دارای جملۀ ثابت

به عنوان مثال، برای یافتن ریشه های چندجمله ایِ y=x۴۳x۳+۲x۲+۱۲ ، شما این احتمالات را تست خواهید کرد: ±۱,±۲,±۳,±۴,±۶,±۱۲ . این اعداد تمامی فاکتورهای ۱۲ می باشند. از نقطه نظر فنی، شما هر کدام از فاکتورهای ۱۲ را بر فاکتورهای ضریب آغازینِ چندجمله ای تقسیم خواهید کرد، اما از آنجا که در این مثال ضریب آغازین یک می باشد (۱x۴) ، تقسیم کردن بر آن عدد، چیزی را تغییر نمی دهد. توجه: علامتها را نادیده می گیرید، زیرا فاکتورهای ۱۲ و ۱ می توانند مثبت یا منفی باشند، و شما چندین ترکیب را می یابید که به شما ریشه های مثبت یا منفی را بدهند. هنگام تست ریشه ها در معادلۀ تابع، علامتها را پیدا خواهید کرد.

برای یافتن ریشه های یک چندجمله ای دیگر، y=۶x۷۴x۴۴x۳+۲x۲۰ ، ابتدا تمامی فاکتورهای ۲۰ را لیست می کنید: ±۱,±۲,±۴,±۵,±۱۰,±۲۰ . اکنون تمامی این فاکتورها را بر فاکتورهای ۶ تقسیم می کنید. لازم نیست برای تقسیم کردن بر ۱ خودتان را اذیت کنید، اما نیاز دارید که آنها را بر ۲ ، ۳ ، و ۶ تقسیم کنید:

±۱۲,±۲۲,±۴۲,±۵۲,±۱۰۲,±۲۰۲,±۱۳,±۲۳,±۴۳,±۵۳,±۱۰۳,±۲۰۳,±۱۶,±۲۶,±۴۶,±۵۶,±۱۰۶,±۲۰۶

ممکن است متوجه شده باشید که در لیست قبلی بعد از ساده سازی کسرها با مواردی تکراری مواجه خواهید شد. برای نمونه، ±۲۲ برابر با ±۱ می باشد، و ±۱۰۶ برابر با ±۵۳ می باشد. با وجودیکه این ممکن است یک لیست طولانی بین اعداد صحیح و اعداد کسری به نظر آید، همچنان تعداد قابل توجهی نامزد منطقی را برای امتحان کردن در اختیار شما می گذارد. شما می توانید آنها را با روشی سیستماتیک درست آزمایی کنید.

چندجمله ایهای بدون جملۀ ثابت

هنگامیکه یک چندجمله ای، جملۀ ثابت نداشته باشد، شما ابتدا باید بالاترین توان متغیری را که می توانید، فاکتورگیری کنید. برای مثال، اگر بدنبال ریشه های گویای ممکن برای y=۵x۸۳x۴۴x۳+۲x می باشید، و قصد استفاده از قضیۀ ریشۀ گویا را دارید، چیزی به غیر از صفر بدست نخواهید آورد. شما جملۀ ثابتی ندارید ـــ یا می توانید بگویید که ثابت برابر با صفر می باشد، بنابراین تمامی صورتهای کسرها برابر با صفر خواهند بود.

شما می توانید با بیرون کشیدن فاکتوری از x بر این مشکل چیره شوید: y=x(۵x۷۳x۳۴x۲+۲) . این به شما ریشۀ صفر را می دهد. اکنون قضیۀ ریشۀ گویا را بر روی چندجمله ای جدید موجود در داخل پرانتز بکار می گیرید تا ریشه های ممکن را بدست آورید:

±۱,±۲,±۱۵,±۲۵

تغییر دادن ریشه ها به فاکتورها

وقتیکه شکل فاکتورگیری شدۀ یک چندجمله ای را داشته باشید و آن را برابر با ۰ قرار دهید، می توانید آن را برای یافتن پاسخها (یا طول از مبدأها) حل کنید. همچنین اگر پاسخها را داشته باشید، می توانید به عقب بازگردید و شکل فاکتورگیری شدۀ آن را بنویسید. وقتیکه چندجمله ایهایی دارید که در صورت و مخرج کسرها هستند و می خواهید کسرها را ساده کنید، شکلهای فاکتورگیری شده مورد نیاز می باشند. مقایسه شکلهای فاکتورگیری شده با یکدیگر آسانتر است.

چگونه می توانید قضیۀ ریشۀ گویا را برای فاکتورگیری یک تابع چندجمله ای مورد استفاده قرار دهید؟ چرا باید بخواهید این کار را انجام بدهید؟ پاسخ سوال دوم اینست که تا بتوانید در کسرها، شکل فاکتورگیری شده را کاهش دهید (ساده سازی کنید). همچنین، ترسیم نمودار شکل فاکتورگیری شده ساده تر می باشد. حالا پاسخ سوال اول: شما از قضیۀ ریشۀ گویا استفاده می کنید تا ریشه های یک چندجمله ای را بیابید و سپس آن ریشه ها را به فاکتورهای دوجمله ای ترجمه می کنید که حاصلضرب آنها چندجمله ای مربوطه را تشکیل بدهند. (روشهای اینکه چگونه از لیست ریشه های ممکن که قضیۀ ریشۀ گویا به شما می دهد، بتوانید ریشه ها را بیابید، در ادامۀ همین فصل مورد بحث قرار می گیرند.)

 قوانین جبر: اگر x=ba ریشه ای از چندجمله ایِ f(x) باشد، دو جمله ای (axb) فاکتوری از آن می باشد. این درست کار می کند، زیرا:

x=baax=baxb=۰

به عنوان مثال، برای یافتن فاکتورهای یک چندجمله ای که دارای پنج ریشۀ زیر می باشد:

x=۱,x=۲,x=۳,x=۳۲,x=۱۲

شما قانون اخیر را به این شکل بکار می گیرید:

f(x)=(x۱)(x+۲)(x۳)(۲x۳)(۲x+۱)

توجه داشته باشید که ریشه های مثبت، فاکتورهایی به شکل xc ، و ریشه های منفی، فاکتورهایی به شکل x+c ، که از x(c) می آید، به شما می دهند.

برای نشان دادن ریشه های مکرر (multiple roots) ، یا ریشه هایی که بیش از یک مرتبه رخ می دهند، از توانها بر روی فاکتورها استفاده نمایید. به عنوان مثال، اگر ریشه های یک چند جمله ای موارد زیر باشند:

x=۰,x=۲,x=۲,x=۳,x=۳,x=۳,x=۳,x=۴

چندجمله ای متناظر این ریشه ها می شود:

f(x)=x(x۲)۲(x+۳)۴(x۴)

قانون علامتهای دکارت (Descartes’ Rule of Signs)

رنه دکارت (Rene Descartes) یک ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی بود. یکی از کمک های او به جبر قانون علامتهای دکارت (Descartes’ Rule of Signs) می باشد. این قانون راحت و مفید سلاحی در انبار مهمات شما، برای جنگ پیدا کردن ریشه ها در توابع چندجمله ای می باشد. اگر این قانون را با قضیۀ ریشۀ گویا جفت کنید، برای موفقیت بخوبی تجهیز شده اید.

قانون علامتها به شما می گوید در یک چندجمله ای، چند ریشۀ حقیقی مثبت و منفی ممکن است بیابید. یک عدد حقیقی (real number)، تقریباً هر عددی است که شما بتوانید به آن فکر کنید. عدد حقیقی می تواند مثبت یا منفی باشد، گویا (rational) یا اصم (irrational) باشد. تنها چیزی که نمی تواند باشد اینست که عددی موهومی (imaginary) باشد. (اگر می خواهید در مورد اعداد موهومی بیشتر بدانید، فصل ۱۴ را ببینید.)

شمارش ریشه های مثبت (positive roots)

اولین بخش قانون علامتها، به شما کمک می کند تا تعداد ریشه های مثبت یک چندجمله ای را تشخیص بدهید.

 قوانین جبر: قانون علامتهای دکارت (بخش اول): چندجمله ایِ

f(x)=anxn+an۱xn۱+an۲xn۲+...+a۱x۱+a۰

حداکثر n ریشه دارد. تعداد دفعاتی را که علامت در f تغییر می کند بشمارید، و آن مقدار را p بنامید. مقدار p ماکزیمم تعداد ریشه های مثبت در f می باشد. اگر تعداد ریشه های مثبت p نباشد، برابر با p۲ ، یا p۴ ، یا عددی کوچکتر و مضربی از دو ، می باشد.

به عنوان مثال، برای استفاده از بخش اول قانون علامتهای دکارت بر روی چندجمله ایِ

f(x)=۲x۷۱۹x۶+۶۶x۵۹۵x۴+۲۲x۳+۸۷x۲۹۰x+۲۷

تعداد تغییر علامتها را شمارش می کنید. علامت جملۀ اول با مثبت آغاز شده است، به منفی تغییر می کند، و دوباره مثبت می شود، منفی، مثبت، همچنان مثبت باقی می ماند، منفی، و سپس مثبت. اوه! در مجموع، شما شش تغییر علامت را شمارش می کنید. بنابراین، نتیجه گیری می کنید که این چندجمله ای دارای شش ریشۀ مثبت، یا دارای چهار ریشۀ مثبت، یا دارای دو ریشۀ مثبت، و یا هیچ ریشه مثبت می باشد. از میان هفت ریشۀ ممکن، به نظر می رسد، حداقل یکی منفی باشد. (راستی، این چندجمله ای دارای شش ریشۀ مثبت می باشد؛ چون من آن را اینطوری ساخته ام! تنها راهی که می توانید این مطلب را بدون اینکه به شما گفته شود بدانید، اینست که ادامه بدهید و ریشه ها را با کمک قانون علامتها بیابید.)

تغییر دادن تابع برای شمارش ریشه های منفی

علاوه بر ریشه های مثبت، قانون علامتهای دکارت با تعداد ریشه های منفی چندجمله ایها نیز درگیر می شود. بعد از اینکه تعداد ریشه های مثبت ممکن را شمارش کردید، آن مقدار را با تعداد ریشه های منفی ممکن ترکیب می کنید تا حدسهای خودتان را بزنید و معادله را حل کنید.

 قوانین جبر: قانون علامتهای دکارت (بخش دوم): چندجمله ایِ

f(x)=anxn+an۱xn۱+an۲xn۲+...+a۱x۱+a۰

حداکثر دارای n ریشه می باشد. ابتدا f(x) را پیدا کنید، و سپس تعداد دفعاتی که علامت در f(x) تغییر کرده است را شمارش کنید و آن مقدار را q بنامید. مقدار q ماکزیمم تعداد ریشه های ممکن f می باشد. اگر تعداد ریشه های منفی برابر با q نباشد، آن عدد برابر با q۲ ، q۴ ، و به همین ترتیب می باشد، به هر تعداد مضرب دو که لازم باشد، ادامه می یابد.

به عنوان مثال برای تعیین تعداد ریشه های منفی در چندجمله ایِ

f(x)=۲x۷۱۹x۶+۶۶x۵۹۵x۴+۲۲x۳+۸۷x۲۹۰x+۲۷

ابتدا f(x) را با جایگزین کردن x به جای x و سپس ساده سازی عبارت، می یابید:

f(x)=۲(x)۷۱۹(x)۶+۶۶(x)۵۹۵(x)۴+۲۲(x)۳+۸۷(x)۲۹۰(x)۱+۲۷=۲x۷۱۹x۶۶۶x۵۹۵x۴۲۲x۳+۸۷x۲+۹۰x+۲۷

همانطور که می بینید، این تابع تنها یک تغییر علامت، از منفی به مثبت، دارد. بنابراین، این تابع تنها یک ریشۀ منفی دارد ـــ نه بیشتر، و نه کمتر.

 یادتان باشد: دانستن تعداد ریشه های مثبت و منفی بالقوه در یک چندجمله ای در هنگام تعیین دقیق ریشه ها، بسیار سودمند است. مثال چندجمله ای که در این بخش ارائه کردم فقط یک ریشۀ حقیقی داشت. این حقیقیت به شما می گوید تا حدس هایتان را بر روی ریشه های مثبت متمرکز کنید؛ اینکه ابتدا یک ریشه مثبت را بیابید احتمال بیشتری دارد. هنگامی که از تقسیم ترکیبی (synthetic division) برای یافتن ریشه ها استفاده می کنید، همچنان که ریشه هایی را می یابید و آنها را خط می زنید، مراحل کار ساده تر و ساده تر می گردد. (در مورد تقسیم ترکیبی در ادامه همین فصل بحث خواهیم داشت). اینکه در ابتدا با انتخاب کردن ریشه هایی که شانس بیشتری برای پیدا شدن دارند، آغاز کنید، می توانید کار کمتری را انجام بدهید و در انرژیتان صرفه جویی کنید.

 

بیشتر بخوانید

۶ روش آسان و سریع انتقال فایل از تلفن هوشمند به رایانه و بالعکس

شاید در ظاهر، انتقال فایل از گوشی موبایل اندرویدی به رایانه کار دشواری به نظر برسد، اما راه‌های بسیار زیادی برای اینکار وجود دارد. از راحت‌ترین کار که اتصال کابل USB شارژر به رایانه و انتقال از روش سنتی با کابل است گرفته تا انتقال از طریق بلوتوث و وای‌فای یا حتی ایمیل و برخی […]

منبع: خوش آموز

توجه:

لطفا در صورت اقدام به دانلود تا انتهای فرآیند دانلود، این صفحه را باز نگاه دارید.

در صورت نیاز به راهنمایی در مورد این مطلب و یا هر مشکلی در زمینه کامپیوتر و موبایل با کارشناسان ما تماس بگیرید.

[تماس از سراسر کشور ۹۰۹۹۰۷۰۵۴۳]

[تعداد: 0   میانگین: 0/5]

پسورد فایل فشرده : aniyar.com

برای کپی کلیک کنید پسورد کپی شد، می‌توانید برای خارج کردن از فایل فشرده استفاده کنید
درخواست نرم افزار

در صورتی نرم افزار، یا کرک نرم افزارتان را نمی توانید پیدا کنید، درخواست خود را برای ما ارسال کنید تا در سریعترین زمان برای شما ارسال شود.

درخواست نرم افزار