• ۱۰ بازدید
  • آبان ۳۰, ۱۳۹۹
بیضی ها (Ellipses) در جبر

بیضی ها (Ellipses) در جبر سهمی ها یا شلجمی ها (Parabolas)

 

 

 

 

نکات مقاله:

  • دانلود کتاب آموزش ریاضی به زبان ساده
  • ضرب و تقسیم عبارت های جبری
  • جبر در ریاضی
  • عبارت جبری هشتم
  • دانلود کتاب ریاضی پایه و پیش جبر
  • آموزش ریاضی مقدماتی تا پیشرفته
  • کتاب کامل جبر
  • تعریف های ابتدایی جبر
  • جبر و معادله
  • جبر و معادله چیست

در آنی یار با ما همراه باشید.

بیشتر بخوانید

Far Cry 5 Dead Living Zombies

Far Cry 5 Dead Living Zombies دانلود بازی برای کامپیوتر

Far Cry 5 Dead Living Zombies دانلود بازی سبک ماجراجویی دانلود بازی برای کامپیوتر فار کرای ۵ دد لیوینگ زامبیز برای ویندوز [Win] ، مکینتاش [Mac] ، لینوکس [Linux] ، اندروید [Android] همراه با لایسنس و کرک در لیست دانلود آنی یار قرار گرفته است. Far Cry 5 Dead Living Zombies این گیم بسیار مهیج و […]

بیضی به عنوان زیباترین و دل انگیزترین مقطع مخروطی در نظر گرفته می شود. بیضی دارای یک شکل زیبای تخم مرغی می باشد که معمولاً در آینه ها، پنجره ها، و اشکال هنری مورد استفاده قرار می گیرد. منظومۀ شمسی ما به نظر می رسد با این موضوع موافق باشد: تمامی سیارات منظورمۀ شمسی یک مسیر بیضوی را گرداگرد خورشید طی می کنند.

تعریف یک بیضی (ellipse) تمامی نقاطی هستند که حاصلجمع فاصلۀ آنها با دو نقطۀ معین در بیضی، یک مقدار ثابت می باشد. این دو نقطۀ معین کانون ها (foci) می باشند، که با F نشان داده می شوند. شکل ۹-۱۱ این تعریف را با تصویر نشان می دهد. شما می توانید یک نقطه را بر روی بیضی انتخاب کنید، و دو فاصلۀ بین آن نقطه تا دو کانون بیضی، حاصلجمعشان عددی می شود که با حاصلجمع فاصلۀ هر نقطۀ دیگر بر روی بیضی با این دو کانون یکسان می باشد. در شکل ۹-۱۱ فاصله های بین نقطۀ A و دو کانون بیضی عبارت از ۳.۲ و ۶.۸ می باشند، که حاصلجمعشان ۱۰ می شود. فاصله های بین نقطۀ B تا این دو کانون عبارت از ۵ و ۵ می شود که مجموع این دو فاصله نیز ۱۰ می گردد.

بیضی ها (Ellipses)

استانداردهای یک بیضی

شما می توانید به بیضی به عنوان یک دایرۀ لِه شده فکر کنید. مطمئناً، بیضی ها خیلی بیشتر از این هستند، اما به این دلیل این برچسب را به بیضی زده ایم که معادلۀ استاندارد یک بیضی شباهت مبهمی به معادلۀ یک دایره دارد.

 قوانین جبر: معادلۀ استاندارد یک بیضی که مرکز آن در نقطۀ (h,k) می باشد برابر است با:

(xh)۲a۲+(y+k)۲b۲=۱

که در این معادله:

  • x و y نقاطی بر روی بیضی هستند.
  • a نیمی از طول بیضی از سمت چپ به راست در عریض ترین قسمت آن می باشد.
  • b نیمی از فاصلۀ بالا یا پایین در بلندترین نقطۀ بیضی می باشد.

برای اینکه در مسأله های بیضوی موفق باشید، نیاز دارید که اطلاعات بیشتری از صرفاً مرکز بیضی را از معادله استاندارد آن استخراج کنید. شما می خواهید بدانید آیا بیضی کشیده و کم پهنا است یا اینکه بلند و لاغر است. از این سمت تا آن سمت آن چقدر طول دارد، و فاصلۀ بین بالا و پایین آن چقدر است؟ همچنین ممکن است بخواهید مختصات کانون های بیضی را بدانید. شما می توانید تمامی این عناصر را از روی معادلۀ بیضی بدست آورید.

تعیین شکل بیضی

یک بیضی توسط یک محور بزرگتر و یک محور کوچکتر متقاطع می شود. به این محور بزرگتر، محور اطول (major axis) و به این محور کوچکتر، محور اقصر (minor axis) گفته می شود. هر محور، بیضی را به دو نیمه مساوی تقسیم می کند، در محور اطول، بخش ها طویل تر هستند (مانند محور X در شکل ۹-۱۱؛ توجه داشته باشید که اگر هیچکدام از محورها بلندتر نباشند، شما با یک دایره مواجه هستید و نه بیضی). محل تقاطع این دو محور، مرکز بیضی می باشد. در دو انتهای محور اطول، رأس های بیضی را خواهید یافت. در شکل ۱۰-۱۱ دو بیضی همراه با محورها و رأس هایشان مشخص شده اند.

بیضی ها (Ellipses)

 یادداشت مترجم: به شخصه ترجیح می دهم به جای کلمات محور اطول و محور اقصر، به ترتیب از کلمات محور بزرگتر و محور کوچکتر استفاده نمایم، اما اشاره به این کلمات از این باب است که پیشتر از ما در مجامع دانشگاهی کشور جا افتاده اند و بارها مورد استفاده قرار گرفته اند.

برای تعیین شکل یک بیضی، شما نیاز دارید تا دو ویژگی را دقیقاً مشخص کنید:

  • طول محورها: شما می توانید از روی معادلۀ استاندارد بیضی، طول دو محور آن را تعیین کنید. برای این کار جذر اعداد موجود در مخرج کسرها را می گیرید. هر کدام از این مقادیر که بزرگتر باشد، a۲ یا b۲ ، به شما می گوید که کدامیک محور اطول می باشد. جذر این اعداد نشانگر فاصله های بین مرکز بیضی تا آن نقاط بر روی بیضی در امتداد محور مربوطه می باشند. به عبارت دیگر a نیمی از طول یک محور، و b نیمی از طول محور دیگر می باشد. از این رو، ۲a و ۲b طول محورها می باشند.به عنوان مثال، برای پیدا کردن طول محور اطول و محور اقصر در بیضیِ (x۴)۲۲۵+(y+۱)۲۴۹=۱ ، جذر ۲۵ و ۴۹ را محاسبه می کنید. جذر عدد بزرگتر یعنی ۴۹ برابر با ۷ می باشد. دو برابر ۷ می شود ۱۴، بنابراین طول محور اطول ۱۴ واحد می باشد. جذر ۲۵ می شود ۵، و دو برابر ۵ برابر با ۱۰ می باشد. طول محور اقصر برابر با ۱۰ واحد می باشد.
  • تخصیص به محورها: محل قرارگیری محورها با ارزش می باشند. مخرجی که زیر x قرار می گیرد، نشان می دهد که آن محور به صورت موازی با محور X قرار می گیرد. در مثال پیشین، ۲۵ زیر x قرار گرفته بود، بنابراین محور اقصر به صورت افقی قرار دارد. مخرجی که زیر فاکتور y قرار گرفته است، محوری است که موازی با محور Y قرار دارد. در مثال قبلی، ۴۹ زیر y قرار دارد، بنابراین محور اطول، به صورت موازی با محور Y ، رو به بالا و پایین قرار دارد. این بیضی بلند و باریک می باشد.

پیدا کردن کانون های بیضی

 یادتان باشد: شما می توانید دو کانون یک بیضی را با استفاده از اطلاعات بدست آمده از معادلۀ استاندارد آن، پیدا کنید. برای شروع، کانون ها همیشه بر روی محور اطول قرار می گیرند. آنها در فاصلۀ c واحد از مرکز بیضی قرار دارند. برای پیدا کردن مقدار c، شما از بخشهایی از معادلۀ بیضی استفاده می کنید تا معادلۀ c۲=a۲b۲ یا c۲=b۲a۲ را، بسته به اینکه a۲ یا b۲ کدامشان بزرگترند، شکل دهید. مقدار c۲ الزاماً باید مثبت باشد.

به عنوان مثال، در بیضیِ x۲۲۵+y۲۹=۱ ، محور اطول این بیضی موازی با محور X قرار دارد. در واقع، محور اطول، محور X می باشد، زیرا مرکز بیضی در مبدأ مختصات قرار دارد. شما این را از روی فقدان h و k در معادله می دانید (در اصل، هر دوی آنها صفر هستند). شما با حل کردن معادلۀ کانون ها، می توانید کانون های این بیضی را پیدا کنید:

c۲=a۲b۲c۲=۲۵۹c۲=۱۶c=±۱۶−−√=±۴

بنابراین، کانون ها در ۴ واحدی هر دو سمت مرکز بیضی قرار دارند. در این مورد، مختصات کانون ها عبارت از (۴,۰) و (۴,۰) می باشند. شکل ۱۱-۱۱ نمودار این بیضی را که روی آن کانون هایش مشخص شده اند، نشان می دهد.

بیضی ها (Ellipses)
همچنین، برای بیضی این مثال، طول محور اطول ۱۰ واحد می باشد، که از نقطۀ (۵,۰) آغاز می شود و تا نقطۀ (۵,۰) امتداد می یابد. این دو نقطه رأس های بیضی می باشند. طول محور اقصر ۶ واحد می باشد، که از نقطۀ (۰,۳) رو به سمت پایین و تا (۰,۳) امتداد دارد.

هنگامیکه مرکز بیضی در مبدأ مختصات نباشد، کانون ها را به روش مشابهی می یابید. مرکز بیضیِ (x+۱)۲۶۲۵+(y۳)۲۴۹=۱ در نقطۀ (۱,۳) می باشد. شما کانون های این بیضی را با حل کردن c۲=a۲b۲ بدست می آورید. در این مورد داریم، c۲=۲۵۲۷۲=۶۲۵۴۹=۵۷۶ . مقدار c یا ۲۴ (یعنی ریشۀ ۵۷۶) و یا ۲۴ نسبت به مرکز بیضی می باشد، بنابراین کانون ها عبارت از (۲۳,۳) و (۲۵,۳) می باشند. طول محور اطول برابر با ۲(۲۵)=۵۰ واحد، و طول محور اقصر برابر با ۲(۷)=۱۴ واحد می باشد. اعداد ۲۵ و ۷ به ترتیب از جذر ۶۲۵ و ۴۹ حاصل شده اند. و رأس ها (نقاط پایانی محور اطول) در نقاط (۲۴,۳) و (۲۶,۳) قرار دارند.

ترسیم یک مسیر بیضوی

آیا تاکنون در یک تالار آکوستیک بوده اید؟ من در مورد یک اتاق یا یک سالن کنفرانس صحبت می کنم که شما می توانید در یک نقطه بایستید و پیامی را زمزمه کنید، و شخص دیگری که در فاصلۀ بسیار دوری از شما قرار دارد، بتواند آن پیام را بشنود. این پدیده قبل از روزهایی که میکروفن های مخفی وجود داشته باشند، بسیار چشمگیرتر بود، و منجر می شد تا ما در مورد چگونگی کارکرد آن به شک و تردید بیفتیم. به هر حال، در اینجا اصول جبری پشت یک تالار آکوستیک را خواهید دید. شما در یک کانون از یک بیضی می ایستید، و شخص دیگر بر روی کانون دیگر بیضی می ایستد. امواج صدا از یک کانون از طریق کف یا سقف تالار انعکاس پیدا می کنند و به سمت کانون دیگر می روند.

فرض کنید با مسأله ای در یک آزمون روبرو شده اید که از شما می خواهد تا بیضی مرتبط به یک تالار آکوستیک را ترسیم کنید که دارای کانون هایی با فاصلۀ ۲۴۰ فوت (feet) از یکدیگر می باشند و طول محور اطول (طول محل) ۲۶۰ فوت می باشد. اولین کار شما اینست که معادلۀ این بیضی را بسازید.

کانون ها ۲۴۰ فوت با هم فاصله دارند، بنابراین هر کدام از آنها در فاصلۀ ۱۲۰ فوتی از مرکز بیضی قرار دارد. طول محور اطول برابر با ۲۶۰ فوت می باشد، بنابراین هر کدام از رأس ها ۱۳۰ فوت از مرکز بیضی فاصله دارند. با استفاده از معادلۀ c۲=a۲b۲ خواهید داشت ۱۲۰۲=۱۳۰۲b۲ یا b۲=۵۰۲ . این معادله ارتباط بین c، یعنی فاصلۀ یک کانون تا مرکز بیضی، و a ، یعنی فاصلۀ بین مرکز و انتهای محور اطول، و b، یعنی فاصلۀ بین مرکز تا انتهای محور اقصر، را به شما نشان می دهد. با مجهز شدن به مقادیر a۲ و b۲ ، شما می توانید معادلۀ این بیضی را که نشان دهندۀ انحنای سقف می باشد، بنویسید: x۲۱۳۰۲+y۲۵۰۲=۱ .

برای ترسیم نمودار این بیضی، ابتدا مرکز را در نقطۀ (۰,۰) قرار می دهید. از مرکز بیضی ۱۳۰ واحد رو به سمت راست و همینطور سمت چپ شمارش می کنید و رأس ها را نشانه گذاری می کنید، و سپس از مرکز ۵۰ واحد رو به سمت بالا و همینطور رو به سمت پایین، شمارش می کنید، تا دو انتهای محور اقصر را نیز نشانه گذاری کنید. شما می توانید با استفاده از این نقاط پایانی این بیضی را ترسیم کنید. شکل ۱۲-۱۱ این نقاط توصیف شده و این بیضی را به شما نشان می دهد. همچنین کانون ها را نیز نشان می دهد، جایی که دو نفر می توانند در تالار آکوستیک بر روی آنها قرار بگیرند.

بیضی ها (Ellipses)

 

بیشتر بخوانید

تا سال ۲۰۲۱ نیمی از پرچم‌داران هواوی از نمایشگر تاشو بهره می‌برند

هواوی تا حد زیادی روی موفقیت گوشی‌های تاشو حساب کرده و مدیرعامل این شرکت طی یک مصاحبه از انتظارات کوتاه‌مدت خود از این تکنولوژی پرده برداشته است.

منبع: خوش آموز

توجه:

لطفا در صورت اقدام به دانلود تا انتهای فرآیند دانلود، این صفحه را باز نگاه دارید.

در صورت نیاز به راهنمایی در مورد این مطلب و یا هر مشکلی در زمینه کامپیوتر و موبایل با کارشناسان ما تماس بگیرید.

[تماس از سراسر کشور ۹۰۹۹۰۷۰۵۴۳]

[تعداد: 0   میانگین: 0/5]

پسورد فایل فشرده : aniyar.com

برای کپی کلیک کنید پسورد کپی شد، می‌توانید برای خارج کردن از فایل فشرده استفاده کنید
درخواست نرم افزار

در صورتی نرم افزار، یا کرک نرم افزارتان را نمی توانید پیدا کنید، درخواست خود را برای ما ارسال کنید تا در سریعترین زمان برای شما ارسال شود.

درخواست نرم افزار