• ۱۳ بازدید
  • آبان ۳۰, ۱۳۹۹
توابع نمایی (Exponential Functions)

توابع نمایی (Exponential Functions)

 

 

 

 

نکات مقاله:

  • دانلود کتاب آموزش ریاضی به زبان ساده
  • ضرب و تقسیم عبارت های جبری
  • جبر در ریاضی
  • عبارت جبری هشتم
  • دانلود کتاب ریاضی پایه و پیش جبر
  • آموزش ریاضی مقدماتی تا پیشرفته
  • کتاب کامل جبر
  • تعریف های ابتدایی جبر
  • جبر و معادله
  • جبر و معادله چیست

در آنی یار با ما همراه باشید.

بیشتر بخوانید

e-World Tech PHP Report Maker

e-World Tech PHP Report Maker تهیه گزارش PHP

e-World Tech PHP Report Maker دانلود نرم افزار برنامه نویسی تهیه گزارش PHP ای ورلد تک پی اچ پی ریپورت میکر برای ویندوز [Win] ، مکینتاش [Mac] ، لینوکس [Linux] ، اندروید [Android] در نسخه های بدون نیاز به نصب پرتابل، ۳۲، ۶۴ بیتی همراه با لایسنس و کرک در لیست دانلود آنی یار قرار […]

پایۀ یک تابع نمایی (exponential function) می تواند هر عدد مثبتی باشد. هر چقدر این عدد بزرگتر باشد، وقتی آن را به توان بالا و بالاتر برسانید، عدد بزرگتری حاصل می شود. (چیزی شبیه اینکه، هر چقدر پول بیشتری داشته باشید، پول بیشتری هم بدست می آورید.) همچنین، پایه ها با کوچکتر شدن رو به سمت پایین می روند. در واقع، هنگامی که پایه عددی بین صفر و یک باشد، شما تابعی نخواهید داشت که رشد کند؛ در عوض، تابعی خواهید داشت که سقوط می کند.

مشاهدۀ روندها در پایه ها (bases)

پایۀ یک تابع نمایی اطلاعات زیادی را در مورد ذات و ویژگی های آن تابع به شما می گوید، به همین دلیل یکی از اولین چیزهایی که باید آن را بنگرید و دسته بندی کنید، پایه می باشد. مهمترین روش برای طبقه بندی پایه های توابع نمایی اینست که تعیین کنیم کدام پایه ها بزرگتر یا کوچکتر از بقیه اند. بعد از اینکه این را تعیین کردید، به این نگاه کنید که چقدر بزرگتر یا چقدر کوچکتر می باشند. توانها، خودشان بر روی عباراتی که شاملشان هستند، به روشی تاحدی قابل پیش بینی تاثیر می گذارند، همین منجر می شود تا موقع گروه بندی به پایه ها به عنوان محل های اصلی توجه کنیم.

 یادتان باشد: از آنجا که دامنۀ یک تابع نمایی، شامل تمامی اعداد حقیقی می باشد، و پایۀ آن همواره عددی مثبت می باشد، نتیجۀ bx همواره عددی مثبت می باشد. حتی، وقتیکه پایۀ مثبتی را به یک توان منفی برسانید، به پاسخی مثبت خواهید رسید. توابع نمایی، در صورتیکه از توان تفریق کنید یا آن را در عددی منفی ضرب کنید، می توانند منجر به اعداد منفی شوند، اما خود توان همواره مثبت خواهد بود.

گروه بندی توابع نمایی بر اساس پایه هایشان

جبر بر اساس این واقعیت که اعدادی که به عنوان پایه ها مورد استفاده قرار می گیرند، وقتیکه به توانهای مثبت می رسند، به شیوه های متمایزی واکنش نشان می دهند، سه طبقه بندی برای پایۀ یک تابع نمایی پیشنهاد می کند:

  • وقتیکه b>۱، مقادیر bx با بزرگتر شدن x رشد می کنند ـــ برای مثال، ۲۲=۴، ۲۵=۳۲، ۲۷=۱۲۸ و به همین ترتیب.
  • هنگامیکه b=۱ ، مقادیر bx هیچ تغییری نمی کنند. در این حالت اگر عدد ۱ را به توانهای بالاتری برسانید، نتیجه همواره همان عدد ۱ خواهد شد: ۱۲=۱، ۱۵=۱، ۱۷=۱ و به همین ترتیب. شما هیچ رشد یا سقوط نمایی را نخواهید دید.
     نکات فنی: درواقع، برخی از ریاضیدانان عدد ۱ را خارج از لیست پایه های ممکن برای نماها قرار داده اند. سایرین آن را به عنوان پُلی بین توابعی که مقادیرشان افزایش می یابد و توابعی که مقادیرشان کاهش می یابد، رها کرده اند. این صرفاً بنا بر سلیقۀ شخصی آنهاست.
  • هنگامیکه ۰<b<۱، مقدار bx با بزرگتر شدن x، کوچکتر می گردد. پایۀ b باید مثبت باشد، و اعداد ۰<b<۱ شامل تمامی کسرهای متعارفی (proper fractions) می باشد (کسرهای متعارفی کسرهایی هستند که صورتشان کوچکتر از مخرجشان باشد). ببینید اگر یک پایۀ کسری را به توان دوم، پنجم، و هشتم برسانیم چه اتفاقی می افتد: (۱۳)۲=۱۹ ، (۱۳)۵=۱۲۴۳ ، (۱۳)۸=۱۶,۵۶۱ . همچنان که توانها بزرگتر و بزرگتر می شوند، اعداد کوچکتر و کوچکتر می گردند.

گروه بندی توابع نمایی بر اساس توانهایشان

یک توان که بر روی یک عدد قرار گرفته باشد، می تواند بر روی عبارتی که شامل آن عدد می باشد به روش هایی تاحدی قابل پیش بینی تاثیر گذار باشد. بسته به اینکه توان بزرگتر از صفر، برابر با صفر، یا کوچکتر از صفر باشد، توان مربوطه منجر می شود نتایج دارای کیفیتهای متفاوتی باشند:

  • وقتیکه پایه b>۱ و توان x>۰ ، مقادیر bx با بزرگتر شدن x، بزرگ و بزرگتر می گردند ـــ برای مثال، ۴۳=۶۴ و ۴۶=۴,۰۹۶ . در این حالت شما می گویید که مقادیر به صورت نمایی (exponentially) رشد می کنند.
  • هنگامیکه پایه b>۱ و توان x=۰، تنها مقدار bx که بدست خواهید آورد برابر با ۱ می باشد. قانون اینست که b۰=۱ ، این قانون در مورد تمامی اعداد به جز b=۰ صدق می کند. بنابراین، توانی از صفر واقعاً چیزها را مسطح می کند.
  • هنگامیکه پایه b>۱ و توان x<۰ ـــ یک عدد منفی ـــ مقادیر bx همچنانکه توان از صفر دورتر و دورتر می شود، کوچکتر و کوچکتر می گردند. برای مثال، این عبارتها را در نظر بگیرید: ۶۱=۱۶ و ۶۴=۱۶۴=۱۱,۲۹۶ . این اعداد خیلی سریع می توانند بسیار کوچک گردند.

پُرکاربردترین پایه ها: ۱۰ و e

توابع نمایی پایه هایشان را با اعداد بزرگتر از صفر نشان می دهند. دو تا از پر مصرف ترین پایه ها ۱۰ و e می باشند، به نحویکه b=۱۰ و b=e .

فهمیدن اینکه چرا ریاضیدانان علاقه مند به استفاده از پایۀ ۱۰ می باشند، زیاد مشکل نیست ـــ در واقع، صرفاً کافیست تا تمامی انگشتانتان را جلوی چشمانتان بگیرید! تمامی توانهای ۱۰ از یکها و صفرها تشکیل شده اند ـــ برای مثال، ۱۰۲=۱۰۰ و ۱۰۹=۱,۰۰۰,۰۰۰,۰۰۰، و ۱۰۵=۰.۰۰۰۰۱ . آیا از این ساده تر هم می شود؟ سیستم اعدادی که استفاده می کنید، یعنی سیستم دهدهی (decimal system)، مبتنی بر ده ها می باشد.

مانند مقدار ۱۰، پایۀ e نیز به صورت طبیعی رخ می دهد. اعضای دنیای علمی ترجیح می دهند تا از پایه e استفاده کنند، زیرا توانها و ضریب های e در مدلهایی به صورت طبیعی افزایش می یابند. همچنین شامل کردن e در محاسبات، امور را برای حرفه ای های مالی، ریاضیدانان، و مهندسان، ساده تر می کند.

اگر برای محاسبۀ مقدار e از یک ماشین حساب علمی استفاده کنید، تنها بخشی از مقدار e را خواهید دید. اعدادی که می بینید تنها تخمینی از مقدار e می باشند؛ بیشتر ماشین حسابها تا هفت یا هشت رقم اعشار از آن را به شما ارائه می دهند. در اینجا نُه رقم اعشار اول از e را به صورت گرد شده می بینید:

e۲.۷۱۸۲۸۱۸۲۸

در واقع، مقدار اعشاری e تا ابد ادامه می یابد و هیچ الگوی تکراری نیز در آن یافت نمی شود. الگویی که در نه رقم اعشار اول آن می بینید، مدت زیادی دوام نمی آورد. معادلۀ زیر مقدار دقیق e را نشان می دهد:

limx(۱+۱x)x

هر چقدر که مقدار x بزرگ و بزرگتر شود، تعداد ارقام اعشار دقیقتری را بدست خواهید آورد.

 نکته: بیشتر دوره های جبر از شما می خواهند تا فقط چهار رقم اول e را به خاطر بسپارید:

e۲.۷۱۸

حالا خبر بد را می دهم. همانقدر که e برای رام کردن معادلات توابع و فرمولهای علمی، فوق العاده است، درگیر شدن با توانهای آن غالباً آسان نمی باشد. پایۀ e تقریباً برابر با ۲.۷۱۸ است، و هنگامی که عددی اعشاری و بی انتها را دریافت کنید و آن را به توان برسانید، بدشکل تر نیز خواهد شد. روش معمول در ریاضیات اینست که پاسختان را به شکل حاصلضرب و توانهایی از e رها کنید و آن را به عدد اعشاری معادلش تبدیل نکنید، مگر اینکه برای کاربرد خاصی نیاز به مقدار تقریبی آن داشته باشید. ماشین حسابهای علمی (Scientific calculators) پاسخهای نهایی شما به لحاظ e را، به پاسخهایی با تعداد اعشاری مورد نیاز شما نشان می دهند.

 قوانین جبر: برای ساده سازی عبارتی که دارای فاکتوری از e می باشد، از همان قوانینی استفاده می کنید که گویی متغیری در پایه توان قرار گرفته باشد (برای جزئیات بیشتر و یادآوری می توانید فصل ۴ را ببینید). لیست زیر چند مثال از چگونگی ساده سازی عبارات داری e را ارائه داده است:

هنگام ضرب کردن عبارات دارای پایۀ یکسان، توانها را با یکدیگر جمع می زنید:

e۲xe۳x=e۵x

هنگام تقسیم کردن عبارات دارای پایۀ یکسان، توانها را از یکدیگر تفریق می کنید:

e۱۵x۲e۳x=e۱۵x۲۳x

این دو توان بیشتر از این با یکدیگر ترکیب نمی شوند.

از ترتیب انجام عملیات استفاده کنید ـــ ابتدا توانها، سپس ضرب، جمع، یا تفریق:

e۲e۴+۲(۳e۳)۲=e۶+۲(۹e۶)=e۶+۱۸e۶=۱۹e۶

رادیکال ها را به توان کسری تغییر بدهید:

e۲e۸−−√(e.e۲)۲=e۲(e۸)۱۲(e۳)۲=e۲e۴e۶=e۲e۶=۱e۴=e۴

 

بیشتر بخوانید

راهکار افزایش سرعت اینترنت با تعویض کانال Wi-Fi

حتما برای شما نیز پیش آمده است که با وجود اتصال از طریق Wi-Fi، از کیفیت سیگنال Wi-Fi خود رضایت نداشته باشید و این مشکل روی سرعت اینترنت شما نیز تاثیر گذاشته باشد. یکی از دلایل کندی سرعت اینترنت، تراکم سینگال‌های موجود در یک منطقه است؛ مشکلی که در مناطق شلوغ و به ویژه محیط‌هایی که تعداد ساختمان […]

منبع: خوش آموز

توجه:

لطفا در صورت اقدام به دانلود تا انتهای فرآیند دانلود، این صفحه را باز نگاه دارید.

در صورت نیاز به راهنمایی در مورد این مطلب و یا هر مشکلی در زمینه کامپیوتر و موبایل با کارشناسان ما تماس بگیرید.

[تماس از سراسر کشور ۹۰۹۹۰۷۰۵۴۳]

[تعداد: 0   میانگین: 0/5]

پسورد فایل فشرده : aniyar.com

برای کپی کلیک کنید پسورد کپی شد، می‌توانید برای خارج کردن از فایل فشرده استفاده کنید
درخواست نرم افزار

در صورتی نرم افزار، یا کرک نرم افزارتان را نمی توانید پیدا کنید، درخواست خود را برای ما ارسال کنید تا در سریعترین زمان برای شما ارسال شود.

درخواست نرم افزار