• ۱۰ بازدید
  • آذر ۱, ۱۳۹۹
متصل کردن شلجمی ها و دایره ها

متصل کردن شلجمی ها و دایره ها

 

 

 

 

نکات مقاله:

  • دانلود کتاب آموزش ریاضی به زبان ساده
  • ضرب و تقسیم عبارت های جبری
  • جبر در ریاضی
  • عبارت جبری هشتم
  • دانلود کتاب ریاضی پایه و پیش جبر
  • آموزش ریاضی مقدماتی تا پیشرفته
  • کتاب کامل جبر
  • تعریف های ابتدایی جبر
  • جبر و معادله
  • جبر و معادله چیست

در آنی یار با ما همراه باشید.

بیشتر بخوانید

OnOne Perfect B&W

OnOne Perfect B&W سیاه و سفید کردن عکس دیجیتال

OnOne Perfect B&W دانلود نرم افزار پلاگین فتوشاپ سیاه و سفید کردن عکس دیجیتال وان وان پرفکت بی اند دبلیو برای ویندوز [Win] ، مکینتاش [Mac] ، لینوکس [Linux] ، اندروید [Android] در نسخه های بدون نیاز به نصب پرتابل، ۳۲، ۶۴ بیتی همراه با لایسنس و کرک در لیست دانلود آنی یار قرار گرفته […]

نمودار یک شلجمی یک منحنی U شکل می باشد، و شکل گرد نمودار دایره را نیز حتماً می شناسید. هنگامیکه یک شلجمی و دایره طرح مشبکی را با یکدیگر به اشتراک می گذارند، می توانند به چندین روش با یکدیگر تعامل داشته باشند. این شکلها می توانند در چهار نقطۀ مختلف، سه نقطه، دو نقطه، و یا یک نقطه همدیگر را قطع کنند. همچنین می توانند هیچ تقاطعی با یکدیگر نداشته باشند. این پنج احتمال را که در اینجا لیست نمودم، چیزهایی هستند که شما باید با آنها کار کنید. چالش شما اینست که تعیین کنید در کدام وضعیت قرار دارید و پاسخهای دستگاه معادلات را بیابید.

مدیریت تقاطع های چندگانه

یک شلجمی (سهمی) و یک دایره می توانند تا در چهار نقطۀ مختلف همدیگر را قطع کنند، بدین معنا که معادلات آنها می تواند تا چهار پاسخ مشترک داشته باشد. شکل ۵-۱۳ چنین وضعیتی را به شما نشان می دهد.

متصل کردن شلجمی ها و دایره ها
برای حل کردن جهت یافتن پاسخهای مشترکی که در شکل ۵-۱۳ می بینید، باید دستگاه معادلاتی را که شامل \(y=-x^2+6x+8\) ، معادلۀ شلجمی، و \(x^2+y^2-6x-8y=0\) ، معادلۀ دایره، می باشد را حل کنید. در اینجا مراحل حل کردن این دستگاه را می بینید:

  1. اگر بخواهید نمودار این معادله ها را ترسیم کنید، باید توجه داشته باشید که معادلۀ شلجمی و معادلۀ دایره را در شکل استاندارد آنها بنویسید.
    در این مورد، نیاز دارید تا معادلۀ دایره را با روش کامل کردن مربع، در شکل استاندارد آن یعنی \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) بنویسید (برای یادآوری چگونگی انجام این کار فصل ۱۱ را بازنگری کنید). معادلۀ این دایره در شکل استاندارد آن برابر با \((x-3)^2+(y-4)^2=25\) می باشد. برای اطلاعات بیشتر در مورد شکل استاندارد معادلۀ شلجمی می توانید فصلهای ۳ و ۷ را بازنگری کنید.
  2. به منظور حل کردن برای نقاط مشترک، هر \(y\) در معادلۀ دایره را با معادل \(y\) در معادلۀ شلجمی جایگزین کنید.
    $$
    x^2+y^2-6x-8y=0 \\[2ex] x^2+(-x^2+6x+8)^2-6x-8(-x^2+6x+8)=0 \\[2ex] x^2+x^4-12x^3+20x^2+96x+64-6x+8x^2-48x-64=0 \\[2ex] x^4-12x^3+29x^2+42x=0
    $$

     نکته: حل کردن یک دستگاهِ دارای یک شلجمی و دایره با روش جایگذاری، شامل مربع کردن یک سه جمله ای و فاکتورگیری یک چندجمله ای درجه سوم می باشد. هنگام مربع کردن یک سه جمله ای، درخواهید یافت که ساده تر اینست که به جای اینکه جملات را همانند یک مسألۀ ضرب بر روی هم انباشته کنید، آنها را توزیع نمائید. به عنوان مثال، برای یافتن \((-x^2+6x+8)^2\) ، به ضرب \((-x^2+6x+8)(-x^2+6x+8)\) فکر کنید. شما هر جمله را ابتدا در \(-x^2\) ، سپس در \(۶x\) ، و در پایان در \(۸\) ضرب می کنید. سپس با ترکیب جملات مشابه کارتان را خاتمه می دهید (برای یادآوری جزئیات بیشتر در مورد چندجمله ایها می توانید فصل ۸ را بازنگری کنید):
    $$
    -x^2(-x^2+6x+8)+6x(-x^2+6x+8)+8(-x^2+6x+8) \\[2ex] =x^4-6x^3-8x^2-6x^3+36x^2+48x-8x^2+48x+64 \\[2ex] =x^4-12x^3+20x^2+96x+64
    $$
  3. جملات حاصله را برابر با صفر قرار دهید و آنها را برای \(x\) حل کنید (این کار معمولاً نیاز به فاکتورگیری یا استفاده از فرمول حل کردن معادلات درجه دوم دارد).
    جملات موجود در این معادله دارای عامل مشترکی از \(x\) می باشند. \(x\) را فاکتور بگیرید، تا به \(x(x^3-12x^2+29x+42)=0\) برسید. عبارت داخل پرانتز به حاصلضرب سه دوجمله ای فاکتورگیری می شود. این فاکتورگیری را با استفاده از قضیۀ ریشۀ گویا (Rational Root Theorem) و تقسیم ترکیبی (synthetic division) صورت می دهید. اگر در این ارتباط نیاز به یادآوری دارید، فصل ۸ را مورد بازنگری قرار دهید. فاکتورهای نهایی این معادله عبارت از \(x(x+1)(x-6)(x-7)=0\) می باشند. پاسخها عبارت از \(x=0,-1,6,7\) می باشند.
  4. این پاسخها را در معادلۀ منحنی دارای توانهای کوچکتر جایگذاری کنید تا مختصات نقاط تقاطع را بیابید.
    در این مورد، جایگذاری را در معادلۀ شلجمی صورت می دهید. درخواهید یافت که وقتی \(x=0\) باشد، \(y=8\) می گردد؛ \(x=-1\) ، \(y=1\)؛ \(x=6\)، \(y=8\) ؛ و وقتیکه \(x=7\) باشد، \(y=1\) می گردد. بنابراین، نقاط تقاطع عبارت از \((۰,۸)\) ، \((-۱,۱)\) ، \((۶,۸)\) ، و \((۷,۱)\) می باشند.

همچنین یک دایره و یک شلجمی می توانند در سه نقطه، دو نقطه، یک نقطه، و یا هیچ نقطه، تقاطع داشته باشند. شکل ۶-۱۳ به شما نشان می دهد که وضعیتهای سه نقطه و دو نقطه به چه صورت هستند. در بخش a از شکل ۶-۱۳ ، رأس شلجمی بر روی نقطه ای از دایره مماس (تانژانت) می باشد، و شلجمی دایره را در دو نقطۀ دیگر نیز قطع می کند. در بخش b از شکل ۶-۱۳ شلجمی، دایره را تنها در دو نقطه قطع می کند.

متصل کردن شلجمی ها و دایره ها

 هشدار: برای حل کردن دستگاه های دارای معادلاتی کمتر از چهار تقاطع، از روش مشابهی استفاده می کنید. جبر شما را به سمت پاسخها هدایت می کند ـــ اما در مورد وعده های دروغین هشیار باشید. شما لازم است که با درست آزمایی پاسخهای بدست آمده از پاسخهای اضافی و نامربوط (extraneous solutions) اجتناب کنید.

بعد از جایگذاری یک معادله در معادلۀ دیگر، به معادلۀ حاصله نگاهی بیندازید. بالاترین توان در معادله به شما می گوید که انتظار چه تعداد پاسخ را داشته باشید. اگر بالاترین توان سه یا چهار باشد، شما می توانید به ترتیب تا سه یا چهار پاسخ داشته باشید. اگر توان دو باشد، می توانید تا دو پاسخ داشته باشید. توانی از یک نشان دهندۀ اینست که تنها یک پاسخ ممکن می توانید داشته باشید. اگر معادلۀ شما هیچ پاسخی نداشته باشد، بدین معناست که هیچ تقاطعی وجود ندارد.

مرتب سازی پاسخها

در بخش تقاطع شلجمی ها با خطها که در ابتدای همین فصل مطرح کردم، مثالهایی که برایتان تدارک دیده بودم از جایگذاریهایی استفاده می کردند که در آنها \(x\)ها جایگزین متغیر \(y\) می شدند. بیشتر اوقات این روش انتخابی است، اما پیشنهاد من اینست که انعطاف پذیر بمانید و پذیرای سایر فرصت ها باشید. مثال بعدی چنین فرصتی می باشد ـــ از این مزیت که برخی مواقع به دلیل معنادارتر بودن و سهولت کار، \(x\) و \(y\) را با هم جابجا کنید، بهره ببرید.

برای یافتن پاسخهای مشترکِ شلجمیِ \(y=x^2\) ، که رأس آن در مبدأ مختصات می باشد (برای یادآوری فصل ۷ را بازنگری کنید)، و دایرۀ \(x^2+(y-1)^2=9\) ، که مرکز آن در \((۰,۱)\) و شعاعش \(۳\) می باشد (جهت یادآوری فصل ۱۱ را مرور کنید)، شما از سادگی \(y=x^2\) استفاده می کنید و در معادلۀ دایره \(y\) را جایگزین \(x^2\) می کنید. این کار منجر می شود تا معادله ای ایجاد گردد که آن را برای یافتن \(y\) ها حل می کنید:
$$
x^2+(y-1)^2=9 \\[2ex] y+(y-1)^2=9 \\[2ex] y+y^2-2y+1=9 \\[2ex] y^2-y-8=0
$$
این معادلۀ درجه دوم فاکتورگیری نمی شود، بنابراین به منظورِ حل کردن آن برای \(y\) از فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم استفاده می کنید:
$$ y=\frac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-8)}}{2(1)}=\frac{1\pm\sqrt{33}}{2} $$
مطابق این پاسخ، دو مقدار مختلف را برای \(y\) می یابید. هنگامی که از بخش مثبت در \(\pm\) استفاده می کنید، در می یابید که \(y\) تقریباً برابر با \(۳.۳۷\) می باشد. هنگامی که از بخش منفی آن استفاده می کنید، در می یابید که \(y\) تقریباً برابر با \(-۲.۳۷\) می باشد. چیزی درست به نظر نمی رسد. چه چیزی شما را آزار می دهد؟ این چیز نادرست مقدار منفی \(y\) می باشد. پاسخهای مشترک یک دستگاه باید در هر دوی معادلات درست کار کنند، و \(y=-2.37\) در معادلۀ \(y=x^2\) درست کار نخواهد کرد، زیرا هنگامی که جذر \(x\) را بگیرید، به عددی منفی نمی رسید. بنابراین، فقط بخش مثبت پاسخ، که در آن \(y \approx 3.37\) می باشد، درست کار خواهد کرد. \(\frac{1+\sqrt{33}}{2}\) را در معادلۀ \(y=x^2\) جایگذاری کنید تا \(x\) را بدست آورید:
$$
\frac{1+\sqrt{33}}{2}=x^2 \\[2ex] \pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{2}}=x
$$
مقدار \(x\) تقریباً برابر با \(\pm 1.84\) می باشد. نمودار موجود در شکل ۷-۱۳ این منحنی و دایره را به شما نشان می دهد، نقاط تقاطع آن در حدود \((۱.۸۴,۳.۳۷)\) و \((-۱.۸۴,۳.۳۷)\) می باشند.

متصل کردن شلجمی ها و دایره ها
هنگامی که \(y=-2.37\) می باشد، به نقاطی می رسید که بر روی دایره قرار دارند، اما این نقاط بر روی شلجمی قرار ندارند. جبر این موضوع را به شما نشان می دهد و همچنین تصویر آن را تایید می کند.

 نکته: هنگام جایگذاری مقادیر در یکی از معادلات اصلی به منظور بدست آوردن متغیر دیگر، همواره در معادلۀ ساده تر جایگذاری را انجام بدهید ـــ معادله ای که توانهایش کوچکتر باشند. این کار به شما کمک می کند تا پاسخهای اضافی و نامربوط را به دام بیندازید.

 

بیشتر بخوانید

چطور از جستجوی گوگل نتایج بهتری بگیریم

وقتی یه سوالی براتون پیش میاد  یا دنبال یه مطلبی میگردین ، اولین جایی که سراغ جوابتون میگردین کجاس؟ فکر می کنم اکثر مردم یه راست میرن سراغ گوگل. روزانه ۳,۳ میلیارد جستجو توی گوگل انجام میشه که نشون میده گوگل مرجع ذهن کنجکاو اکثر مردمه. اما هیچوقت به این فکر کردین که چی شد […]

منبع: خوش آموز

توجه:

لطفا در صورت اقدام به دانلود تا انتهای فرآیند دانلود، این صفحه را باز نگاه دارید.

در صورت نیاز به راهنمایی در مورد این مطلب و یا هر مشکلی در زمینه کامپیوتر و موبایل با کارشناسان ما تماس بگیرید.

[تماس از سراسر کشور ۹۰۹۹۰۷۰۵۴۳]

[تعداد: 0   میانگین: 0/5]

پسورد فایل فشرده : aniyar.com

برای کپی کلیک کنید پسورد کپی شد، می‌توانید برای خارج کردن از فایل فشرده استفاده کنید
درخواست نرم افزار

در صورتی نرم افزار، یا کرک نرم افزارتان را نمی توانید پیدا کنید، درخواست خود را برای ما ارسال کنید تا در سریعترین زمان برای شما ارسال شود.

درخواست نرم افزار