• ۹ بازدید
  • آذر ۱, ۱۳۹۹
سایر انواع دستگاه های معادلات

سایر انواع دستگاه های معادلات

 

 

 

 

نکات مقاله:

  • دانلود کتاب آموزش ریاضی به زبان ساده
  • ضرب و تقسیم عبارت های جبری
  • جبر در ریاضی
  • عبارت جبری هشتم
  • دانلود کتاب ریاضی پایه و پیش جبر
  • آموزش ریاضی مقدماتی تا پیشرفته
  • کتاب کامل جبر
  • تعریف های ابتدایی جبر
  • جبر و معادله
  • جبر و معادله چیست

در آنی یار با ما همراه باشید.

بیشتر بخوانید

41. ایجاد لیست کشویی در اکسل

۴۱. ایجاد لیست کشویی در اکسل

همانطور که می دانید برنامه اکسل در زمینه ذخیره سازی اطلاعات در سطح خیلی گسترده ای چه در حوزه شخصی و چه در حوزه مشاغل مورد استفاده قرار می گیرد و تقریبا شما هر نوع داده ای را می توانید در آن ذخیره کنید […]

در ابتدای این فصل با تقاطع بین خطها و انواع مختلف مقاطع مخروطی سر و کار داشتیم، زیرا منحنی مخروطی ها برای تصویرسازی ساده می باشند و نتایج تقاطع ها قدری قابل پیش بینی می باشند. با این وجود، شما می توانید تقاطع (پاسخهای مشترک) بین سایر انواع توابع و منحنی ها را بیابید؛ شما ممکن است مجبور شوید، بدون داشتن سرنخی از چیزی که قرار است اتفاق بیفتد، کار را آغاز کنید. با این حال، نگران نباشید؛ با استفاده از فرآیندهای صحیح ـــ جایگذای و حل کردن معادلات ـــ می توانید مطمئن باشید که به نتایج و پاسخهای درستی خواهید رسید.

شما می توانید با دستگاهی از معادلات خطی با روش های مختلفی برخورد کنید. (در فصل ۱۲ جزئیات مربوط به روش های حل کردن دستگاه های معادلات خطی را مطرح نموده ایم.) با این وجود، یک دستگاه معادلات که شامل یک یا بیشتر، تابع چندجمله ای (غیرخطی) می باشد، گزینه های کمتری را برای یافتن پاسخها ارائه می دهد. اگر یک تابع گویا یا تابع نمائی را نیز به آن بیفزایید، مسأله پیچیده تر هم خواهد شد. اما مادامیکه معادلات با شما همکاری کنند، روش های مختلف جبری شامل روش حذف و جایگذاری، بدرستی کار خواهند کرد.

 نکات فنی: معادلاتی که همکاری می کنند، آنهایی هستند که در این کتاب مورد بحث قرار داده ام. هنگامی که دستگاه های معادلات از روش های جبری سر باز می زنند، شما مجبور خواهید بود تا به ماشین حسابها، کامپیوترها، و دوره های ریاضی پرقدرت تر روی آورید. در این میان، می توانید بر روی دستگاه هایی که به زیبایی تعریف شده اند و قابل مدیریت می باشند و من آنها را در این بخش برای موجودیت های غیرخطی ارائه داده ام، تمرکز کنید.

ترکیب چندجمله ایها و خطها

یک چندجمله ای، یک منحنی نرم و ادامه دار است. در فصل ۸ اطلاعات فراوانی در مورد رفتار منحنی های چندجمله ای و چگونگی ترسیم نمودار آنها وجود دارد. هرچقدر منحنی یک چندجمله ای مسیرش را بیشتر تغییر بدهد و در امتداد نمودار رو به سمت بالا و پایین حرکت کند، یک خط فرصتهای بیشتری برای عبور از آن خواهد داشت. برای مثال، خط y=۳x+۲۱ چندجمله ایِ y=x۳+۵x۲+۲۰x را سه بار قطع می کند. شکل ۸-۱۳ نمودار این خط و چندجمله ای و نقاط تقاطع را به شما نشان می دهد.

سایر انواع دستگاه های معادلات

 یادتان باشد: جایگزین کردنی که در آن y موجود در چندجمله ای با معادل آن y در خط جایگزین گردد، معمولاً موثرترین روش برای حل کردن پاسخهای مشترک تقاطع ها می باشد. (شما این روش را زمانی به کار می برید که پاسخها اعداد صحیح همکاری کننده باشند. اگر نقاط مشترک شامل کسرها و رادیکال ها باشند، تکنولوژی تنها روشی است که به شما کمک خواهد کرد.)

به منظور حل کردن برای پاسخهای این دستگاه معادلات با روش جایگذاری، کار را با جایگزین کردن y موجود در چندجمله ای با معادل y در خط آغاز می کنید و معادله را برابر با صفر قرار می دهید:

y=x۳+۵x۲+۲۰x۳x+۲۱=x۳+۵x۲+۲۰x۰=x۳+۵x۲+۱۷x۲۱

این معادلۀ ساده سازی شده به ۰=(x+۳)(x۱)(x۷) فاکتورگیری می شود. (اگر در مورد چگونگی این فاکتورگیری نیاز به کمک دارید، به آموزش های مربوط به قضیۀ ریشۀ گویا و تقسیم ترکیبی در فصل ۸ مراجعه کنید.) صفرها، یا پاسخهای این معادله برابر با x=۳,۱,۷ می باشند. برای بدست آوردن مقدار y در نقاط تقاطع، این مقادیر xها را در معادلۀ خط جایگزین می کنید. نقاط تقاطعی را که خواهید یافت عبارت از (۳,۱۲) ، (۱,۲۴) ، و (۷,۴۲) می باشند.

 توجه: هنگامی که معادله ای را برای رسیدن به پاسخ کامل حل می کنید، همیشه از معادلۀ دارای توانهای کوچکتر استفاده کنید. با توانهای کوچکتر، جایگذاری ساده تر می شود، و مهمتر از آن، با پاسخهای اضافی و نامربوط مواجه نخواهید شد.

تقاطع چندجمله ایها

تقاطع چندجمله ایها تقریباً مانند این می ماند که شما یک آزمایش ژنتیک انجام بدهید و یک منحنی ترکیبی جدید را بسازید ـــ نوعی از یک هیولای غیرخطی. اما قبل از اینکه در این فیلم ترسناک من شروع به خنده های شیطانی کنم، باید تصدیق کنم که تقاطع چندجمله ایها چیزی واقعاً فوق العاده و زیبا می باشد. (فراموش نکنید که زیبایی در چشمان بیننده است.)

صرفاً برای اینکه مثالی از چگونگی تقاطع چندجمله ایها و ایجاد چندین پاسخ، را به شما نشان بدهم، یک چندجمله ایِ درجه چهارم و یک چندجمله ایِ درجۀ سوم را برای شما انتخاب کرده ام. یک چندجمله ای درجۀ چهارم (بالاترین توان متغیرهای آن ۴ می باشد) و یک چندجمله ای درجه سوم (مکعبی)، می توانند تا تعداد سه پاسخ مشترک را داشته باشند. به عنوان مثال، نمودارهای y=x۴+۲x۳۱۳x۲۱۴x+۲۴ و y=x۳+۸x۲۱۳x+۴ در شکل ۹-۱۳ نشان داده شده اند. منحنی W شکل، چندجمله ایِ درجه چهارم می باشد، و S یک وری شده، چندجمله ایِ درجه سوم می باشد.

سایر انواع دستگاه های معادلات

 یادتان باشد: برای حل کردن دستگاه معادلاتی که دارای دو چندجمله ای می باشد، از روش جایگزینی استفاده می کنید.

y را برابر با y قرار دهید، همۀ جملات را به سمت چپ منتقل کنید، و ساده سازی کنید:

x۴+۲x۳۱۳x۲۱۴x+۲۴=x۳+۸x۲۱۳x+۴x۴+x۳۲۱x۲x+۲۰=۰

این معادله به (x+۵)(x+۱)(x۱)(x۴)=۰ فاکتورگیری می شود. که پاسخهای x=۵,۱,۱,۴ را نتیجه می دهد. با جایگذاری این مقادیر در معادلۀ مکعبی (درجه سوم)، وقتیکه x=۵ باشد، به y=۱۴۴ می رسید، وقتیکه x=۱ باشد به y=۲۴، وقتیکه x=۱ باشد به y=۰، و وقتیکه x=۴ باشد به y=۱۴۴ می رسید. حالا تمامی نقاط تقاطع را دارید.

تقاطع های نمایی

توابع نمایی (Exponential functions)، وقتیکه نمودارشان ترسیم گردد، منحنی های مسطح C شکل می باشند (در فصل ۱۰ با جزئیات فراوانی به توابع نمایی پرداخته ام). هنگامیکه توابع نمایی با یکدیگر تقاطع پیدا می کنند، معمولاً این کار را تنها در یک محل انجام می دهند، و یک پاسخ مشترک را ایجاد می کنند. ترکیب منحنی های نمایی با سایر انواع منحنی ها نتایجی مشابه نتایجی که در ترکیب خطها و شلجمی ها دیدید، ایجاد می کند ـــ ممکن است به بیش از یک پاسخ برسید.

تجسم کردن پاسخ های نمایی

توابع نمایی y=۵x و y=۳x دارای یک پاسخ مشترک می باشند: هر دوی آنها در نقطۀ (۰,۱) از محور Y عبور می کنند. اگر x=۰ باشد، در y=۵x ، به y=۵۰=۱ می رسید. هر چیزی به توان صفر برابر با یک می باشد. بنابراین، بدین معنا می باشد که جایگذاری ۰ به جای x در y=۳x به شما نتیجۀ y=۳۰=۱ را می دهد. شما در هر دو معادله به عدد یکسانی می رسید. شما می دانید که (۰,۱) تنها پاسخ ممکن برای این دو تابع نمایی می باشد، زیرا هر توان دیگری از ۵ و ۳ منجر به عدد یکسانی نخواهد شد. اعداد ۳ و ۵ هر دو اعداد اول هستند، و به توان رساندن آنها منجر به هیچ پاسخ مشترکی نمی شود. شما می توانید این پاسخها را با جبر، از طریق استدلال کردن، یا با نگاه کردن به نمودار این معادلات، کشف کنید. نمودارهای توابع نمایی y=۵x و y=۳x در بخش a از شکل ۱۰-۱۳ نشان داده شده اند. نموداری که شیب تُندتری دارد تابع نمایی y=۵x می باشد.

سایر انواع دستگاه های معادلات
بخش b از شکل ۱۰-۱۳ تقاطع های خط y=۲x+۲ و تابع نمایی y=۲۲x+۱+۲x۱ را نشان می دهد. با توجه به پیچیدگی این تابع نمایی، حل کردن این دستگاه معادلات با جبر عملی نیست. حل کردن آن نیاز به کمک گرفتن از فناوری دارد. اما اگر می توانید پاسخها را با نگاه کردن به نمودارها تشخیص بدهید، از این موقعیت بهره ببرید. دو پاسخی که به نظر می رسد این خط و تابع نمایی به صورت مشترک داشته باشند (محل تقاطع شان) عبارت از (۱,۰) و (۰,۲) می باشند، با این فرض که هر نشانه بر روی محورهای نمودار را یک واحد در نظر بگیریم. (شما تنها انتظار دو پاسخ را دارید، زیرا این خط در یک مسیر مشخص حرکت می کند، و این تابع نمایی صرفاً رشد می کند، مانند همۀ توابع نمایی دیگر، و به محلی که از آن عبور کرده است، باز نمی گردد). شما می توانید با جایگذاری پاسخهای بدست آمده برای مقادیر x در معادلات، آنها را درست آزمایی کنید، تا ببینید که آیا به مقادیر y صحیحی می رسید یا خیر:

هنگامیکه x=۱ باشد، در معادلۀ خط داریم: y=۲(۱)+۲=۲+۲=۰ .
هنگامیکه x=۱ باشد، در معادلۀ نمایی داریم:

y=۲۲(۱)+۱+۲۱۱=۲۲+۱+۲۱۱=۲۱+۲۱۱=۱۲+۱۲۱=۰

این خط و تابع نمایی دارای پاسخ مشترک (۱,۰) می باشند.

هنگامیکه x=۰ باشد، در معادلۀ خط داریم: y=۲(۰)+۲=۰+۲=۲ .
هنگامیکه x=۰ باشد، در معادلۀ نمایی داریم:

y=۲۲(۰)+۱+۲۰۱=۲۱+۱۱=۲

این خط و تابع نمایی دارای پاسخ مشترک (۰,۲) می باشند.

حل کردن برای پاسخ های نمایی

 یادتان باشد: شما می توانید برخی از دستگاه ها را که شامل توابع نمایی می باشند با استفاده از تکنیک های جبری، حل کنید. دنبال چه چیزی باید باشید؟ هنگامیکه پایه های توابع نمایی اعداد یکسانی باشند، یا توانهایی از اعداد یکسانی باشند، یافتن یک پاسخ جبری ممکن می باشد.

به عنوان مثال، شما می توانید دستگاه y=۴x و y=۲x+۱ را به صورت جبری حل کنید، زیرا پایۀ ۴ در معادلۀ اول، توانی از ۲ یعنی پایۀ معادلۀ دوم، می باشد. شما می توانید عدد ۴ را به شکل ۲۲ بنویسید. (اگر در مورد چگونگی برخورد با توابع نمایی نیاز به یادآوری دارید، فصل ۱۰ را مورد بازنگری قرار دهید.)

 قوانین جبر: برای حل کردن یک دستگاه متشکل از توابع نمایی، هنگامیکه پایه های توابع اعداد یکسانی باشند، یا توانهایی از اعداد یکسانی باشند، دو مقدار y را برابر با یکدیگر قرار می دهید، توانها را برابر با هم قرار می دهید، و آنها را برای یافتن x حل می کنید. شما با برابر هم قرار دادن توانها و دور انداختن پایه ها، شکل آنها را از شکل نمایی تغییر می دهید.

با برابر هم قرار دادن دو مقدار y در مثال قبلی، خواهید داشت:

۴x=۲x+۱(۲۲)x=۲x+۱۲۲x=۲x+۱

حالا می توانید توانها را برابر با یکدیگر قرار دهید. پاسخ ۲x=x+۱ برابر با x=۱ می باشد. وقتیکه x=۱ باشد، در هر دو معادله y=۴ می گردد. شکل ۱۱-۱۳ نمودار این معادلات متقاطع را نشان می دهد.

سایر انواع دستگاه های معادلات

توابع گویا

یک تابع گویا (rational function) یک کسر است که شامل یک عبارت چندجمله ای هم در صورت و هم در مخرج آن باشد. یک چندجمله ای دارای یک یا چند جمله می باشد که دارای توانهایی به صورت اعداد کامل (whole-number) می باشند، بنابراین در یک تابع گویا همۀ توانها اعداد کامل هستند ـــ فقط در شکل کسری می باشند. نمودار یک تابع گویا معمولاً دارای خطهای مجانب افقی یا خطهای مجانب عمودی و یا هر دوی این خطهای مجانب می باشند، که شکل آن را آشکار می سازند. همچنین توابع گویا معمولاً دارای تکه هایی از هُذلولی ها (hyperbolas) در نمودارشان می باشند. (در فصل ۹ می توانید اطلاعات فراوانی را در مورد توابع گویا بیابید.)

حل کردن و ترسیم نمودار دستگاه هایی از معادلات که شامل توابع گویا باشند به معنای درگیر شدن با کسرها می باشد. با این وجود، نگران نباشید. در ادامه شما را برای این کار آماده می سازم.

تقاطع های یک تابع گویا و یک خط

تابع گویایِ y=x۱x+۲ و خط ۳x+۴y=۷ در دو نقطه همدیگر را قطع می کنند، بدین معنا که دارای دو پاسخ مشترک می باشند. شما می توانید این مطلب را از روی نمودار آنها در شکل ۱۲-۱۳ مشاهده کنید. اما مراقب باشید که تقاطع های خط را با خطهای مجانب تابع گویا، به عنوان بخشی از پاسخ، اشتباه نگیرید. شما صرفاً تقاطع های با منحنی تابع گویا را لحاظ خواهید کرد. همچنین پاسخ جبری که خواهید یافت، تایید می کند که فقط نقاط بر روی منحنی را مورد استفاده قرار می دهید.

سایر انواع دستگاه های معادلات
به منظور حل کردن این دستگاه معادلات، ابتدا معادلۀ خط را برای y حل می کنید و سپس این معادل y را در معادلۀ تابع گویا جایگزین می کنید:

۳x+۴y=۷۴y=۷۳xy=۷۴۳۴x۷۴۳۴x=x۱x+۲

معادلۀ حاصله اندکی آشفته به نظر می رسد، آیا اینطور نیست؟ شما می توانید با ضرب کردن هر سمت از معادله در مخرج مشترک کسرها، یعنی ۴(x+۲) ، این معادله را زیباتر سازید:

۴(x+۲)(۷۴۳۴x)=(x۱x+۲)۴(x+۲)۴(x+۲)۷۴۴(x+۲)۳۴x=(x۱x+۲)۴(x+۲)۷(x+۲)۳x(x+۲)=۴(x۱)

اکنون می توانید معادلۀ بدست آمده را با توزیع و ترکیب جملات مشابه، و برابر قرار دادن کل معادله با صفر، ساده سازی کنید. نتیجۀ کار یک معادلۀ درجه دوم می باشد که می توانید آن را فاکتورگیری نمایید:

۷(x+۲)۳x(x+۲)=۴(x۱)۷x+۱۴۳x۲۶x=۴x۴x+۱۴۳x۲=۴x۴۰=۳x۲+۳x۱۸۰=۳(x۲+x۶)۰=۳(x+۳)(x۲)
 هشدار: هنگامیکه شکل یک معادلۀ دارای کسرها، رادیکال ها، یا نمایی ها، را تعییر می دهید، لازم است تا در مورد پاسخهای اضافی هشیار باشد ـــ پاسخهایی که این شکل جدید معادله را راضی نگه می دارند، اما در معادلۀ اصلی درست نمی باشند. همواره کارتان را با جایگذاری پاسخهای بدست آمده در معادلات اصلی، درست آزمایی کنید.

پاسخهای این معادلۀ درجه دوم عبارت از x=۳ و x=۲ می باشند. اکنون این پاسخها را در توابع گویا جایگذاری می کنید تا پاسخهایتان را درست آزمایی نمایید. وقتیکه x=۳ است، به y=۴ می رسید. وقتیکه x=۲ باشد، به y=۱۴ می رسید. این مقادیر نشان دهندۀ پاسخهای مشترک (مختصات تقاطعها) بین خط و تابع گویا می باشند (شما می توانید آنها را در شکل ۱۲-۱۳ ببینید).

تشخیص معکوس بودن توابع در هنگام حل کردن یک دستگاه

با اندکی جبر و ترسیم نمودار، شما متوجه خواهید شد که چیزی خاص در مورد دو تابع گویایِ موجود در دستگاه زیر وجود دارد:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪y=۳x۴x۲y=۲x۴x۳

هنگامی که این دستگاه را با تعیین پاسخها حل می کنید، متوجه چیزی می شوید که ممکن است تصادفی باشد یا تصادفی نباشد. یک نمودار می تواند تعیین کند که کشف شما یک تصادف نیست. اوکی، معلق ماندن کافیست. برای حل کردن این دستگاه، این دو کسر را برابر با یکدیگر قرار دهید ـــ همانطور که معادل y را جایگزین معادل آن می نمودید:

۳x۴x۲=۲x۴x۳

معادله ای که ایجاد کرده اید، یک تناسب (proportion) می باشد، بدین معنا که شما دو نسبت (کسر) متفاوت دارید که برابر با یکدیگر می باشند. با ضرب متقاطع (طرفین وسطین کردن) و ساده سازی حاصلضربها، و سپس انتقال دادن تمامی جملات به سمت چپ و آنها را برابر با صفر قرار دادن، کار را ادامه دهید:

(۳x۴)(x۳)=(۲x۴)(x۲)۳x۲۱۳x+۱۲=۲x۲۸x+۸x۲۵x+۴=۰

این معادلۀ درجه دوم به (x۴)(x۱)=۰ فاکتورگیری می شود. بنابراین دو پاسخ برابر با x=۴ و x=۱ می باشند. شما این دو مقدار را در یکی از معادلات اصلی جایگذاری می کنید. درخواهید یافت که هنگامیکه x=۴ باشد، y=۴ است، و هنگامیکه x=۱ ، y=۱ است. بنابراین، به راز بزرگ باز می گردیم. آیا در مورد این مقادیر متوجه چیز خاصی شدید؟ بله، مقادیر x و y یکسان می باشند، زیرا هر دوی آنها بر روی خط y=x قرار دارند. این پدیده به این دلیل اتفاق می افتد که این دو تابع گویا معکوس یکدیگر می باشند. (در فصل ۶ می توانید اطلاعات بیشتری را در مورد توابع معکوس بخوانید.)

ویژگی خاص در مورد نمودار توابع و معکوس آنها اینست که آنها همواره نسبت به یکدیگر بر روی خط y=x متقارن می باشند. همچنین، اگر بر روی خط تقارن همدیگر را قطع کنند، در محل یکسانی این تقاطع ایجاد می گردد و یک تصویر نسبتاً هنری ایجاد می گردد. شکل ۱۳-۱۳ این دو تابع گویا را که پیشتر معرفی کردم به شما نشان می دهد، همینطور می توانید ببینید این دو تابع چگونه نسبت به خط y=x متقارن می باشند. (در این تصویر تعمداً خطهای مجانب را نیاورده ام تا از به هم ریختگی ممانعت نمایم.)

سایر انواع دستگاه های معادلات

 

بیشتر بخوانید

اهداف استراتژیک در تجارت الکترونیک

موج تجارت الکترونیک تقریبا همه شرکتها را در تمامی اقتصادها تحت تاثیر قرار داده است و این شرکتها ناگزیر از ورود به عرصه تجارت الکترونیک هستند. گام اولیه و اساسی تدوین استراتژی بدون شک تدوین وطراحی اهداف استراتژیک تجارت الکترونیک است. اهداف استراتژیک تجارت الکترونیک همانند یک چراغ راهنما، تمامی تلاشها و اقدامات را در […]

منبع: خوش آموز

توجه:

لطفا در صورت اقدام به دانلود تا انتهای فرآیند دانلود، این صفحه را باز نگاه دارید.

در صورت نیاز به راهنمایی در مورد این مطلب و یا هر مشکلی در زمینه کامپیوتر و موبایل با کارشناسان ما تماس بگیرید.

[تماس از سراسر کشور ۹۰۹۹۰۷۰۵۴۳]

[تعداد: 0   میانگین: 0/5]

پسورد فایل فشرده : aniyar.com

برای کپی کلیک کنید پسورد کپی شد، می‌توانید برای خارج کردن از فایل فشرده استفاده کنید
درخواست نرم افزار

در صورتی نرم افزار، یا کرک نرم افزارتان را نمی توانید پیدا کنید، درخواست خود را برای ما ارسال کنید تا در سریعترین زمان برای شما ارسال شود.

درخواست نرم افزار